Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 91 стр.

 Так как из полученного условия вытекает унитарность оператора
φ, то можно сформулировать следующий вывод: Матрица линейно-
го оператора в ортонормированном базисе является матрицей уни-
тарного оператора тогда и только тогда, когда скалярное произведе-
ние столбцов матрицы с разными номерами равно нулю, а скаляр-
ный квадрат каждого столбца равен единице. Такую матрицу при-
нято называть унитарной матрицей.
 6. Ортогональные операторы


 Определение ортогонального оператора аналогично определению
унитарного.
 Определение 6.1. Пусть V - евклидово пространство. Тогда опе-
ратор           ϕ ∈ End R (V )      называется         ортогональным,   если
(x | y ) = (ϕx | ϕy ), x, y ∈ V .
 Предложение 6.1. Оператор φ ортогонален тогда и только то-
гда, когда выполняются следующие условия:
 1)     Образы ϕe1 ,..., ϕen некоторого (любого) ортонормированного
базиса e1 ,..., en также ортонормированный базис.
 2)     ϕ * = ϕ −1 , оператор сопряженный к оператору ϕ совпадает с

обратным к нему.
 Доказательство аналогично доказательству предложения 5.1.
 Теорема 6.2. Оператор φ ортогонален тогда и только тогда, ко-
гда существует ортонормированный базис, в котором матрица
оператора Aϕ имеет блочно-диагональный вид, причем блоки на

                                         ⎡cos α   − sin α ⎤
диагонали равны либо [± 1] , либо ⎢                         .
                                  ⎣ sin α          cos α ⎥⎦

 Доказательство. Если φ ортогонален, то φ нормален. Следо-
вательно, по теореме 4.1 существует ортонормированный базис, в