Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 89 стр.

 Применим полученные результаты для описания операторов, со-
храняющих скалярное произведение.
 Определение 5.1. Пусть V - унитарное пространство. Тогда опе-
ратор                   ϕ ∈ End C (V )          называется             унитарным,                      если
(ϕx | ϕy ) = (x | y ), x, y ∈V .
 Предложение 5.1. Оператор φ унитарен тогда и только тогда,
когда выполняются следующие равносильные утверждения:
 1)        Образы ϕe1 ,..., ϕen некоторого ортонормированного базиса
e1 ,..., en также ортонормированный базис.

 2)        Образы ϕ e 1 ,..., ϕ e n любого ортонормированного базиса e1 ,..., en
также ортонормированный базис.
 3)         ϕ −1 = ϕ * , т.е. оператор, сопряженный к ϕ , совпадает с об-

ратным к ϕ .
 Доказательство. Пусть ϕ - унитарен, и e1 ,..., en - некоторый
(любой) ортонормированный базис. Тогда (ϕei | ϕe j ) = (ei | e j ) = δ ij . Т.е.

ϕ e1 ,..., ϕ e n - ортонормированный базис.

 Обратно, пусть ϕe1 ,..., ϕen - ортонормированный базис для некоторо-
го        (любого)           ортонормированного          базиса            e1 ,..., en .   То          есть

(ϕe      | ϕe j ) = (ei | e j ) = δ ij . Для любых двух векторов x = ∑ xi ei , y = ∑ y j e j
                                                                                    n            n

     i
                                                                                   i =1         j =1



                                                             (x | y ) = ∑ xi y j (ei | e j ) = ∑ xi yi ,
                                                                          n                      n
имеем:
                                                                        i , j =1                i =1


               ⎛                         ⎞
(ϕx | ϕy ) = ⎜⎜ ∑ xiϕei | ∑ y jϕe j ⎟⎟ = ∑ xi y j (ϕei | ϕe j ) = ∑ xi yi . Сравнивая полу-
                   n           n               n                 n


               ⎝ i =1          j =1      ⎠   i , j =1           i =1


ченные формулы, имеем (x | y ) = (ϕx | ϕy ) . Мы проверили эквивалент-
ность исходного определения и пунктов 1) и 2).
 Проверим эквивалентность определения унитарного оператора и
пункта 3).