Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

aybxy
+
=
ϕ
,
где
RbaCbiaVyxViyxz ∈∈+=∈∈+= ,,,,,
~
λ
.
Доказательство. По определению
yixz
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
. С другой сто-
роны,
()()
(
)
bxayibyaxiyxbiaz
+
+
−
=++=
λ
. Сравнивая два этих выра-
жения, получаем необходимость утверждения предложения 4.1.
Достаточность условий (*) также очевидна.
Следствие 4.1. Если
zz
λ
ϕ
=
, то
iyxzzz
−
=
=
,
λ
ϕ
.
Доказательство:
(
)
(
)
= iyxbiaz
λ
(
)
zyixbxayibyax
ϕ
ϕ
ϕ
=−=
.
Предложение 4.2.
Пусть
V
евклидово пространство, а V
y
x
∈,
такие, что
0,,
≠
+
=
−= baybxybyaxx
ϕ
ϕ
, причем
ϕ
- нормален. Тогда
()
)|()|(,0| yyxxyx
=
= .
Доказательство. В силу предложения 4.1 для
ϕ
имеем:
,zz
λ
ϕ
=
,bia +=
λ
Viyxz
~
∈+= . Используя следствие 4.1, получим
zz
ϕ
λ
= . Тогда по следствию 2.1 (см. параграф 2): zz
λϕ
=
*
.
Вычислим теперь скалярное произведение
(
)
zz |
ϕ
двумя способами.
С одной стороны,
(
)
(
)
(
)
zzzzzz |||
λ
λ
ϕ
=
=
. С другой:
()
(
)
()()
zzzzzzzz ||||
*
λλϕϕ
=== . Так как 0
≠
b , то
λλ
≠ и поэтому
()
0| =zz . Но
()( )
(
)
(
)
(
)
(
)
yxixyiyyxxiyxiyxzz ||||||
+
+
−
=
−
+= .
Приравнивая нулю действительную и мнимую часть этого выра-
жения, получим утверждение предложения.
Доказательство теоремы 4.1.
Если характеристический многочлен EA
λ
ϕ
− имеет действитель-
ный корень
0
λ
, то, как и при доказательстве теоремы 2.1, определя-
ем подпространство
{}
vvvU
0
,
λ
ϕ
=
= и дословно повторяем упомяну-
тое доказательство.
Пусть все характеристические корни оператора φ — комплексные.
Тогда перейдем к комплексифицированному пространству
V
~
и опе-
                                                 ϕy = bx + ay ,
                               ~
 где z = x + iy ∈V , x, y ∈V , λ = a + bi ∈ C , a, b ∈ R .
 Доказательство. По определению ϕ z = ϕx + iϕy . С другой сто-
роны, λz = (a + bi )(x + iy ) = ax − by + i (ay + bx ) . Сравнивая два этих выра-
жения, получаем необходимость утверждения предложения 4.1.
Достаточность условий (*) также очевидна.
 Следствие 4.1. Если ϕ z = λz , то ϕ z = λ z, z = x − iy .
 Доказательство: λ z = (a − bi )(x − iy ) =                        = ax − by − i (ay + bx ) = ϕx − iϕy = ϕ z .

 Предложение 4.2. Пусть V евклидово пространство, а x, y ∈V
такие, что ϕx = ax − by, ϕy = bx + ay, b ≠ 0 , причем ϕ - нормален. Тогда
(x | y ) = 0, ( x | x ) = ( y | y ) .
 Доказательство. В силу предложения 4.1 для ϕ имеем:
ϕ z = λz, λ = a + bi, z = x + iy ∈ V~ . Используя следствие 4.1, получим
                                                                                         *
λ z = ϕ z . Тогда по следствию 2.1 (см. параграф 2): ϕ z = λ z .

 Вычислим теперь скалярное произведение (ϕ z | z ) двумя способами.
С        одной                     стороны,      (ϕ z | z ) = (λz | z ) = λ (z | z ) .       С        другой:
(ϕ z | z ) = (z | ϕ   *
                           )
                          z = ( z | λz ) = λ ( z | z ) . Так как b ≠ 0 , то λ ≠ λ и поэтому

(z | z ) = 0 . Но (z | z ) = (x + iy | x − iy ) = (x | x ) − ( y | y ) + i ( y | x ) + i (x | y ) .
 Приравнивая нулю действительную и мнимую часть этого выра-
жения, получим утверждение предложения.
 Доказательство теоремы 4.1.
 Если характеристический многочлен Aϕ − λE имеет действитель-

ный корень λ0 , то, как и при доказательстве теоремы 2.1, определя-
ем подпространство U = {v, ϕv = λ0 v} и дословно повторяем упомяну-
тое доказательство.
 Пусть все характеристические корни оператора φ — комплексные.
                                                                                                      ~
Тогда перейдем к комплексифицированному пространству V и опе-

Страницы