Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

V
, то его можно продлить до линейного оператора
ϕ
на
V
~
по фор-
муле:
yixiyx
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+ )( .
Предложение 3.1.
*
*
ϕϕ
= .
Доказательство. Для любых векторов
21
, zz из V
~
имеем:
(
)
()
()
()()()()
=−++=
=++==
21212121
2211212
*
1
||||
|||
yxixyiyyxx
iyxyixzzzz
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
(
)
(
)
(
)
(
)
2
*
12
*
12
*
12
*
1
|||| yxixyiyyxx
ϕϕϕϕ
−++=
=
()
(
)
(
)
(
)
(
)
2
*
12
*
12
*
12
*
2
*
12
*
2
*
1
||||| zzziyzxyixiyyixx
ϕϕϕϕϕϕϕ
=+=+++
. Так как
1
z
-
произвольный вектор из
V , то
2
*
2
*
zz
ϕϕ
= . Но
2
z - также любой век-
тор из
V
, следовательно,
*
*
ϕϕ
=
.
4. Канонический вид нормального оператора в вещест-
венном случае
Определение нормального оператора для евклидовых пространств
дословно повторяет эрмитов случай. А именно, φ - нормален, если
ϕϕϕϕ
**
= .
Теорема 4.1. Пусть V - евклидово пространство. Тогда оператор
φ - нормален тогда и только тогда, когда существует ортонорми-
рованный базис в V, в котором матрица A
φ
оператора φ имеет
клеточно-диагональный вид, причем каждая клетка на диагонали
имеет либо вид
[]
a , либо Rba
ab
ba
∈
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
,, .
Так же как в предыдущем параграфе, вначале докажем ряд вспомо-
гательных предложений.
Предложение 4.1. Пусть
ϕ
- продолжение линейного оператора
ϕ
на комплексификацию V
~
пространства V . Тогда zz
λ
ϕ
= , если и
только если
byaxx
ϕ
, (*) 
                                                      ~
V , то его можно продлить до линейного оператора ϕ на V по фор-

муле: ϕ ( x + iy ) = ϕx + iϕy .

 Предложение 3.1. ϕ * = ϕ * .
                                                                                                         ~
 Доказательство. Для любых векторов z1 , z 2 из V имеем:

  (z | ϕ z )= (ϕ z | z ) = (ϕx + iϕy | x
      1
            *
                2          1    2          1            1       2   + iy 2 ) =
  = (ϕx1 | x 2 ) + (ϕy1 | y 2 ) + i (ϕy1 | x 2 ) − i (ϕx1 | y 2 ) =
= (x1 | ϕ * x 2 ) + ( y1 | ϕ * y 2 ) + i ( y1 | ϕ * x 2 ) − i (x1 | ϕ * y 2 ) =

(x1                                                         (             )(          ) (
      | ϕ * x 2 + iϕ * y 2 ) + (iy1 | ϕ * x2 + iϕ * y 2 ) = x1 | ϕ * z 2 + iy1 | ϕ * z2 = z1 | ϕ * z 2   ).   Так как z1 -
                                                                     *
произвольный вектор из V , то ϕ z 2 = ϕ * z 2 . Но z2 - также любой век-
                           *
тор из V , следовательно, ϕ = ϕ * .
 4. Канонический вид нормального оператора в вещест-
венном случае


 Определение нормального оператора для евклидовых пространств
дословно повторяет эрмитов случай. А именно, φ - нормален, если
ϕϕ * = ϕ *ϕ .

 Теорема 4.1. Пусть V - евклидово пространство. Тогда оператор
φ - нормален тогда и только тогда, когда существует ортонорми-
рованный базис в V, в котором матрица Aφ оператора φ имеет
клеточно-диагональный вид, причем каждая клетка на диагонали

имеет либо вид [a] , либо                        ⎡ a b ⎤ , a, b ∈ R .
                                                 ⎢⎣− b a ⎥⎦

 Так же как в предыдущем параграфе, вначале докажем ряд вспомо-
гательных предложений.
 Предложение 4.1. Пусть ϕ - продолжение линейного оператора
                                                    ~
ϕ на комплексификацию V пространства V . Тогда ϕ z = λz , если и

только если
                                                   ϕx = ax − by ,                 (*)

Страницы