Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 84 стр.

 Лемма 2.2. Если V — унитарное или евклидово пространство U-
инвариантное подпространство для оператора ϕ ∈ End (V ) , то U ⊥ -
инвариантно относительно ϕ * .
 Доказательство. Пусть x ∈ U , y ∈ U ⊥ . Тогда (ϕx | y ) = 0, так как
ϕx ∈ U . С другой

 стороны, (ϕx | y ) = (x | ϕ * y ) . Значит, ϕ * y ∈ U ⊥ .
 Аналогичным рассуждением доказывается
 Лемма 2.3. Если ϕ U ⊆ U , ϕ *U ⊆ U , то ϕ U ⊥ ⊆ U ⊥ , ϕ *U ⊥ ⊆ U ⊥
 Доказательство теоремы 2.1. Пусть ϕ — нормальный
оператор, действующий в конечномерном унитарном пространстве
V. Если dimC V=1, то утверждение теоремы справедливо. Пусть dimC
V = n >1. Обозначим через U = {u ∈ V , ϕu = au, a ∈ C} - подпространство
собственных векторов, отвечающих собственному значению a. Дос-
таточно рассматривать случай, когда U ≠ V . Кроме того U ≠ 0 .
 В силу леммы 2.1 ϕ *U ⊆ U . Тогда по лемме 2.3 ϕ U ⊥ ⊆ U ⊥ ,
ϕ *U ⊥ ⊆ U ⊥ . А так как dim U ⊥ = dim V − dim U < dim V , то, применяя предпо-

ложение индукции, получим, что существует ортонормированный
базис e1 ,..., es в U ⊥ , в котором матрица сужения оператора φ — диа-
гональная.
 Так как V = U ⊕ U ⊥ , то, объединяя базисы подпространств U и U ⊥ ,
получим утверждение теоремы.
 Обратно, пусть существует ортонормированный базис e1 ,..., en про-
странства V , в котором матрица Aϕ оператора ϕ — диагональная.

Используя формулу из параграфа 1, имеем Aϕ = Aϕt . Значит Aϕ так-
                                                             *          *




же диагональная. Следовательно, Aϕ Aϕ = Aϕ Aϕ или ϕ ϕ * = ϕ * ϕ .
                                                  *     *




 3. Комплексификация векторных пространств