Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 83 стр.

     ⎡ a11 K a1n ⎤
Aϕ = ⎢      L       ⎥ - матрица оператора ϕ в ортонормированном ба-
     ⎢              ⎥
     ⎢⎣a n1 K a nn ⎥⎦

зисе e1 ,..., en . Тогда (ϕei | ek ) =                 (∑   n
                                                                        )
                                                                a e | ek = aki .
                                                            j =1 ji j
                                                                                   Если ϕ *ek = ∑ s =1 ask* es , то
                                                                                                     n




(e | ϕ e ) = (e | ∑
 i
     *
         k     i
                      n
                          a* e
                      s =1 sk s
                                  )= a   *
                                             ik   . В силу формулы (ϕei | ek ) = (ei | ϕ *ek ) , полу-

чим aik* = aki или Aϕ = Aϕt . *




 2. Канонический вид нормального оператора в унитар-
ном пространстве


 Определение 2.1. Пусть                                         V   — унитарное пространство,
ϕ ∈ End C (V ) . Оператор ϕ называется нормальным, если ϕ ϕ * = ϕ * ϕ .



 Теорема 2.1. Оператор ϕ — нормален тогда и только тогда, ко-
гда в пространстве V существует ортонормированный базис, в
котором матрица оператора ϕ имеет диагональный вид.
 Предварительно докажем несколько лемм.
 Лемма 2.1. Если v— собственный вектор нормального оператора
ϕ : ϕv = av , a ∈ C , то v— собственный вектор оператора ϕ ∗ , причем

ϕ ∗v = a v .

 Доказательство. Обозначим через U подпространство собст-
венных векторов оператора ϕ , отвечающих собственному значению
a : U = {v ∈ V , ϕv = av}. Тогда ϕ (ϕ ∗ v − a v) = ϕ ∗ϕv − a ϕv = a (ϕ ∗ v − a v) , если

v ∈ U , т.е. ϕ ∗ v − a v ∈ U . С другой стороны,

(u | ϕ ∗ v − a v) = (ϕu | v) − a (u | v) = 0 , если u ∈ U . Таким образом

ϕ ∗ v − a v ∈ U ⊥ , для любого вектора v ∈ V . Следовательно, если v ∈ U ,

то ϕ ∗ v − a v ∈ U ∩ U ⊥ = 0 . Значит ϕ ∗ v = a v , когда ϕv = av .