Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 82 стр.

 Теорема 1.1. Отображение λ → yλ , где λ ∈V * , yλ ∈V задает изо-
морфизм пространств V и V*.
 Доказательство. Провести самостоятельно.
 Изоморфизм из предыдущей теоремы обозначим через φ. Пусть
ψ ∈ End R (V ) . Тогда действие оператора ψ * из End R (V * ) определено

правилом (ψ *λ )(x ) = λ (ψx ) , где x ∈ V , λ ∈ V * . Определим оператор ψ V* ,
действующий в пространстве V, формулой:
 ψ V* ( yλ ) = ϕ (ψ * (ϕ −1 yλ )) . Указанное правило делает коммутативной сле-

дующую диаграмму:
                                                     −1
                                                ϕ
                                             λ ←⎯⎯ yλ

                                    ψ* ↓                        ↓ ψ V*
                                                ϕ
                                          ψ *λ ⎯
                                               ⎯→ yψ *λ .

 Тогда (ψx | y λ ) = (x | ψ V* y λ ) . Действительно, (ψx | y λ ) = λ (ψ (x )) .
 С другой стороны,         ( x |ψ V* yλ ) = ( x | yψ * λ ) = (ψ *λ )( x) = λ (ψ ( x)) .

 Когда функция λ пробегает пространство V * , вектор y λ принимает
все значения из V . Поэтому последнюю формулу можно переписать
так:    (ψx | y ) = (x | ψ V* y ) . Если речь идет только об операторах
ψ ,ψ V* ∈ End R (V ) , то оператор ψ V* будем записывать как ψ * . В резуль-

тате этих соглашений доказанная формула приобретает вид:
                                 (ψx | y ) = (x | ψ * y ), x, y ∈ V .
 Эта формула справедлива и для унитарных пространств. Для ее
проверки необходимо только при доказательстве теоремы 1.1 в ка-
                                                   n
честве вектора y λ взять вектор                   ∑ λ (e
                                                   j =1
                                                            j   )e j , где e1 ,..., en — некоторый


ортонормированный базис унитарного пространства V . Отметим
связь между матрицами линейных операторов ϕ и ϕ * . Пусть