Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 85 стр.

 Для получения канонического вида нормального оператора в ве-
щественном случае нам потребуется процедура комплексификации
векторного пространства.
 Пусть V - вещественное пространство. Обозначим через                                                V~   сово-
купность пар ( x, y ), x, y ∈ V и введем в                 V~   покомпонентную процедуру
сложения, то есть ( x, y ) + ( x ′, y ′) = ( x + x ′, y + y ′) . Если поле комплекс-
ных чисел интерпретировать как множество пар (a, b), a, b ∈ R с опе-
рациями       сложения             ( a , b) + ( a ′, b′) = ( a + a ′, b + b′)              и       умножения
( a, b)( a′, b′) = ( aa′ − bb′, ab′ + ba′) , то можно превратить V~ в векторное

пространство над C, если умножение на константы из C задать
формулой:
                              ( a , b)( x, y ) = ( ax − by , ay + bx ) .

 Проверки аксиом векторного пространства повторяют соответст-
вующие проверки аксиом поля C . В частности, отождествляя пару
(0,1) и мнимую единицу, имеем i ( x, y ) = (0,1)( x, y ) = ( − y , x ) . То                                есть
( x, y ) = ( x,0) + (0, y ) = ( x,0) + i ( y ,0) . Поэтому пару ( x, y ) будем записы-

вать в виде x + iy , а операции сложения и умножения примут вид:
                            ( x + iy ) + ( x′ + iy′) = ( x + x′) + i ( y + y′) ,

                  (a + bi )( x + iy ) = (ax − by ) + i (by + ax), a, b ∈ R, x, y ∈V            .
 Полученное пространство                  V~   будем называть комплексификацией
пространства V.
 Если V евклидово пространство, то                         V~   можно превратить в унитар-
ное, задав эрмитово произведение на                        V~   по формуле:
                           (z1 | z2 )V~ = (x1 + iy1 | x2 + iy2 )V~ =                   .
                       = (x1 | x2 )V + ( y1 | y2 )V + i ( y1 | x2 )V − i (x1 | y2 )V

 Все аксиомы эрмитова произведения проверяются непосредствен-
ным вычислением. Если ϕ - линейный оператор, действующий на