Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 88 стр.

ратору ϕ . Заметим, что из нормальности φ вытекает нормальность
ϕ . Действительно:
                      *
               ϕ ϕ ( x + iy ) = ϕ ϕ * ( x + iy ) = ϕ (ϕ * x + iϕ * y ) = ϕϕ * x + iϕϕ * y ,
                  *                *
                ϕ ϕ ( x + iy ) = ϕ (ϕx + iϕy ) = ϕ * (ϕx + iϕy ) = ϕ *ϕx + iϕ *ϕy .

 Из равенства полученных выражений следует, что ϕϕ * = ϕ *ϕ . Если
z = x + iy      собственный               вектор           оператора             ϕ,       то     есть
ϕ z = λ0 z , λ0 = a + bi ∈ C , то ϕx = ax − by, ϕy = bx + ay .

 Рассмотрим подпространство U = x, y , натянутое на вектора x, y .

Очевидно, что ϕU ⊆ U . Проверим, что ϕ *U ⊆ U . В силу следствия 2.1

из ϕ z = λ0 z имеем ϕ * z = λ0 z . Или ϕ ∗ z = λ0 z . Так как ϕ ∗ z = ϕ * x + iϕ * y , а
λ0 z = (ax + by ) + i (ay − bx) , то

                                           ϕ * x = ax + by,
                                                              .
                                           ϕ * y = ay − bx

 То есть ϕ *U ⊆ U .
 По лемме 2.3 ϕ *U ⊥ ⊆ U ⊥ , ϕ U ⊥ ⊆ U ⊥ . Так как dim R U = 2 , то
dim R U ⊥ < dim R V и по предположению индукции в U ⊥ существует ба-

зис с необходимыми свойствами. В качестве базиса в U берем
       x        y
e1 =     , e2 =   . Объединяя базисы U и U ⊥ , получим утверждение
       x        y

теоремы о виде матрицы Aϕ .

 Для проверки утверждения в обратную сторону достаточно заме-
тить, что матрица                 Aϕ *    также будет блочно-диагональная и

⎡ a b ⎤ ⎡ a − b⎤ ⎡ a − b⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ a 2 + b 2                        0     ⎤
⎢− b a ⎥ ⎢b a ⎥ = ⎢b a ⎥ ⎢− b a ⎥ = ⎢ 0                                    ⎥.                 Поэтому
⎣      ⎦⎣      ⎦ ⎣      ⎦⎣      ⎦ ⎣                               a 2 + b2 ⎦

Aϕ Aϕ * = Aϕ * Aϕ , или ϕ ϕ * = ϕ * ϕ .

 5. Унитарные операторы