Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 90 стр.

 Если              ϕ   -   унитарен,        то              (x | y ) = (ϕx | ϕy ) = (x | ϕ *ϕy ) . То есть
(x | y − ϕ ϕy ) = 0 . Следовательно, ϕ ϕ = 1 .
               *                                        *



 Обратно, если ϕ * = ϕ −1 , то из формулы (ϕx | ϕy ) = (x | ϕ *ϕy ) получаем
(ϕx | ϕy ) = (x | y ) . Предложение полностью доказано.
 Теорема 5.2. Для любого унитарного оператора существует ор-
тонормированный базис, в котором его матрица имеет вид:
                                            ⎡λ1      0⎤
                                            ⎢   λ2      ⎥
                                            ⎢           ⎥,
                                            ⎢      O    ⎥
                                            ⎢           ⎥
                                            ⎣0       λn ⎦

 причем λi = 1, i = 1,..., n .

 Доказательство. Если φ - унитарен, то в силу пункта 3) пред-
ложения 5.1 он нормален. Поэтому, по теореме 2.1, существует ор-
тонормированный базис, в котором матрица Aϕ - диагональна. Из

условия ϕ * = ϕ −1 следует, что Aϕt = Aϕ , то есть для каждого диаго-
                                                              −1




нального элемента λi выполняется равенство λi = λi−1 . Что равно-
сильно условию λi = 1 .
 Заметим, что матрица унитарного оператора в любом ортонорми-
рованном базисе имеет достаточно специальный вид.
 Пусть e1 ,..., en - некоторый ортонормированный базис и действие
унитарного оператора φ в этом базисе задается формулами:
        n
ϕei = ∑ a ji e j , i = 1,..., n . Тогда, используя пункт 2 предложения 5.1,
        j =1


                                 ⎛   n            n                ⎞   n
имеем: δ ik = (ϕei | ϕek ) = ⎜⎜ ∑ a ji e j | ∑ a sk es ⎟⎟ = ∑ a ji a jk = (α i | α k ) , где
                                 ⎝   j =1        s =1              ⎠   j =1


      ⎛ a1i ⎞      ⎛ a1k ⎞
      ⎜ ⎟          ⎜ ⎟
α i = ⎜ M ⎟, α k = ⎜ M ⎟ .
      ⎜a ⎟         ⎜a ⎟
      ⎝ ni ⎠       ⎝ nk ⎠