Линейные операторы. Корешков Н.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

принадлежащий
i
U , принадлежит и сумме:
ni
UUU +
+
+
+
......
1
)
. По оп-
ределению прямой суммы получаем, что
0'
=
−
ii
uu , i=1,…,n, т.е. име-
ем единственность разложения вектора u.
Обратно, пусть x
)......(
1 nii
UUUU
+
+
+
+
∩∈
)
. Т.е. x=u
i
=u
1
+…
+u
i-1
+u
i+1
+…+u
n
. Тогда
0......
111
=
+
+
+
−
+
+
+− niii
uuuuu
. Но нулевой век-
тор можно представить в виде 0=0+…+0, где каждое слагаемое при-
надлежит подпространству U
i
, i=1,…,n. Используя единственность
разложения, имеем:
0...
21
=
=
=
=
n
uuu , т.е. x=0. Следовательно, про-
странство U является прямой суммой своих подпространств.
Свойство 7.3. Сумма
n
UUU
+
+
=
...
1
является прямой т.и.т.т., ко-
гда
∑
=
=
n
i
i
UU
1
dimdim .
Доказательство. Пусть
i
n
i
UU
1=
⊕= . Применим индукцию по ко-
личеству слагаемых n. При n=1, очевидно, dim U = dim U
1
. Для вы-
числения dim U воспользуемся формулой из теоремы 6.2:
dim (U
1
+ … +U
n
) = dim U
1
+ dim (U
2
+ …+U
n
) – dim U
1
∩ (U
2
+
…+U
n
).
По условию U
1
∩ (U
2
+ …+U
n
)=0, т.е. dim U
1
∩ (U
2
+ …+U
n
)=0.
Сумма U
2
+ …+U
n
– прямая в силу свойства 7.2. Поэтому по пред-
положению индукции
∑
=
=++
n
j
jn
UUU
2
2
dim)...dim( , т.е.
∑
∑
==
=+=
n
j
j
n
j
j
UUUU
12
1
dimdimdimdim .
Обратно, предположим, что
∑
=
=
n
j
j
UU
1
и
∑
=
=
n
j
j
UU
1
dimdim . Обозна-
чим через
i
iki
uu ,...,
1
– базис пространства U
i
, i=1,…,n. Тогда из усло-
вия
∑
=
=
n
j
j
UU
1
вытекает, что },...,,...,,...,{
1111
1 n
nknk
uuuu – система порож-
дающих векторного пространства U. С другой стороны,
UUk
n
j
j
n
j
j
dimdim
11
==
∑∑
==
. Следовательно, },...,{
11
n
nk
uu – базис про-
странства U. Тогда по свойству 7.2 сумма
∑
=
n
j
j
U
1
– прямая. 
                                                                                                          )
принадлежащий                       Ui ,    принадлежит и сумме:                               U1 + ... + U i + ... + U n .        По оп-
ределению прямой суммы получаем, что                                                       u i − u 'i = 0 ,     i=1,…,n, т.е. име-
ем единственность разложения вектора u.
                                                             )
 Обратно, пусть x ∈U i ∩ (U1 + ... + U i + ... + U n ) . Т.е. x=ui=u1+…
 +ui-1+ui+1+…+un. Тогда                          u1 + ... + ui −1 − ui + ui +1 + ... + u n = 0 .                     Но нулевой век-
тор можно представить в виде 0=0+…+0, где каждое слагаемое при-
надлежит подпространству Ui, i=1,…,n. Используя единственность
разложения, имеем:                          u1 = u 2 = ... = u n = 0 ,          т.е. x=0. Следовательно, про-
странство U является прямой суммой своих подпространств.
 Свойство 7.3. Сумма                            U = U 1 + ... + U n          является прямой т.и.т.т., ко-

                  ∑
                         n
гда     dimU =           i =1
                                dim U i .

 Доказательство. Пусть U = ⊕ in=1U i . Применим индукцию по ко-
личеству слагаемых n. При n=1, очевидно, dim U = dim U1. Для вы-
числения dim U воспользуемся формулой из теоремы 6.2:
        dim (U1+ … +Un) = dim U1+ dim (U2+ …+Un) – dim U1 ∩ (U2+
                                                           …+Un).
 По условию U1 ∩ (U2+ …+Un)=0, т.е. dim U1 ∩ (U2+ …+Un)=0.
Сумма U2+ …+Un – прямая в силу свойства 7.2. Поэтому по пред-

                                                                                ∑
                                                                                    n
положению индукции                           dim(U 2 + ... + U n ) =                j =2
                                                                                           dimU j       , т.е.

                                                           ∑                               ∑
                                                                 n                             n
                                       dimU = dim U 1 +          j =2
                                                                        dim U j =              j =1
                                                                                                      dim U j   .

                                                                     ∑                                     ∑
                                                                         n                                       n
 Обратно, предположим, что                                 U=            j =1
                                                                             Uj         и    dimU =              j =1
                                                                                                                        dimU j   . Обозна-

чим через             ui1 ,..., uiki   – базис пространства Ui, i=1,…,n. Тогда из усло-

              ∑
                  n
вия     U=        j =1
                       Uj        вытекает, что            {u11 ,..., u1k1 ,..., u n1 ,..., u nkn }         – система порож-

дающих                векторного                 пространства                           U.          С      другой                стороны,

∑             ∑
    n             n
        k =
    j =1 j        j =1
                         dim U j = dimU        . Следовательно,                             {u11 ,..., u nkn }       –      базис про-

                                                                                            ∑
                                                                                                n
странства U. Тогда по свойству 7.2 сумма                                                        j =1
                                                                                                      Uj   – прямая.

Страницы