Линейные операторы. Корешков Н.А. - 21 стр.

 Одним из важных случаев возникновения прямой суммы является
конструкция дополнительного подпространства.
 Теорема 7.4. Пусть U подпространство в конечномерном про-
странстве V. Тогда существует такое подпространство W в V,
что   V =U ⊕W    .
 Доказательство. Выберем какой-либо базис в U: e1 ,..., em . До-
полним его до базиса всего пространства V: e1 ,..., em ,..., en . Обозначим
через W линейную оболочку                   < em+1 ,..., en > .   Тогда V=U+W, а, в силу
свойства 7.2,     U ∩W = 0 .      Т.е.   V =U ⊕W    .
 Рассматривая прямые суммы, мы действовали пока в фиксирован-
ном векторном пространстве V. Такие прямые суммы называют
внутренними. Иногда возникает необходимость в рассмотрении
внешней прямой суммы двух векторных пространств над одним и
тем же полем k, заранее никуда не вложенных в качестве подпро-
странств. Под        U ⊕W     в этом случае понимается совокупность V все-
возможных пар (u,w), u ∈ U , w ∈ W . Операция сложения векторов из
V и умножения их на скаляры определены формулами
  (u, w) + (u' , w' ) = (u + u' , w + w' ) ; α (u, w) = (αu, αw) ; u, u' ∈ U , w, w'∈W , α ∈ k .

 Векторы (u,0) образуют в V подпространство                             U,   изоморфное U, а
векторы (0,w) образуют подпространство                            W   , изоморфное W. Соот-
ветствующими изоморфизмами являются отображения: (u,0) → u,
(0,w) → w. Кроме того, V является внутренней прямой суммой своих
подпространств        U   и   W   .