Линейные операторы. Корешков Н.А. - 22 стр.

 Глава 2. Линейные операторы
 1.      Линейные отображения векторных пространств


 Линейные отображения векторных пространств появляются в раз-
личных разделах математики. Их примерами могут служить враще-
ния и отражения в трехмерном пространстве, а также операции
дифференцирования и интегрирования в пространствах функций.
Рассмотрим понятие линейного отображения в наиболее общем ви-
де.
 Определение 1.1. Пусть V и W векторные пространства над по-
лем k. Отображение φ из V в W называется линейным, если
ϕ (α1v1 + α 2 v2 ) = α1ϕ (v1 ) + α 2ϕ (v2 ) , v1 , v2 ∈V , α1 ,α 2 ∈ k .

 Наряду с термином линейное отображение часто используется его
синоним: линейный оператор.
 Частным случаем линейного отображения является линейная
функция, когда в качестве пространства W берется одномерное про-
странство, обычно отождествляемое с основным полем k. Совокуп-
ность всех линейных отображений из пространства V в пространст-
во W будем обозначать Homk(V,W).
 Примеры.
      1) V=W=R2 – действительная плоскость, φ – поворот каждого
вектора из R2 на фиксированный угол α. Тогда
 а) ϕ (λv ) = λϕ (v )