Линейные операторы. Корешков Н.А. - 75 стр.

                                             1     −1        0   K       0
                                             1     1         0   K       0
                                             0      0        1   K       0 =2
                                             L L L L L
                                             0      0        0   K       1

 отличен от нуля, так что мы не выходим из круга невырожденных
преобразований. Тогда относительно переменных y1 ,..., y n форма q
будет иметь ненулевой коэффициент при y12 и мы получаем пункт
А).
 3. Вещественные квадратичные формы


 Если основное поле k, над которым рассматривается векторное
пространство V, произвольно, то дальнейшее упрощение канониче-
ского вида квадратичной формы возможно только при некоторых
дополнительных условиях. Пусть K=R — поле действительных чи-
сел. Предположим, что первые s коэффициентов в каноническом
виде квадратичной формы q = λ1 y12 + ... + λs y s2 + λs +1 y s2+1 + ... + λr y r2 поло-
жительны, а остальные r-s отрицательные. Произведем следующую
замену переменных:
  zi = λi yi , i = 1,..., s . z i = − λi yi ,           i = s + 1,..., r , z i = y i , i = r + 1,..., n . Тогда

q( y ) = q( z ) = z12 + ... + z s2 − z s2+1 − ... − z r2 .

 Полученное выражение называется нормальным видом квадратич-
ной формы, а величины s и r-s количеством положительных и отри-
цательных квадратов.
 Теорема 3.1.(Закон инерции) Количество положительных и от-
рицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы
определено однозначно.
 Доказательство. Пусть
q = x12 + ... + x s2 − x s2+1 − ... − x r2 = ( x1′ ) + ... + ( xt′ ) − ( xt′+1 ) − ... − ( x r′ ) — два нор-
                                                    2                2          2         2