Линейные операторы. Корешков Н.А. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

А) Существует номер i, для которого 0
≠
ii
f . Меняя нумерацию пе-
ременных, будем считать, что
1
=
i
. Тогда
()
)(...)(
2
1212111
1
11
xgxfxfxffxq
nn
++++=
−
, где
∑
=
=
n
ji
jiij
xxgxg
2,
)( - квадра-
тичная форма от переменных
n
xx ,...,
2
. По предположению индукции
существует невырожденное преобразование
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
x
x
M
2
,0,
1
2
1
≠
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
= Q
y
y
Q
n
M
та-
кое, что
22
22
...)(
ss
yyyg
μμ
++= . Рассмотрим преобразование
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
0
0
1
1
11211
1
Q
fff
y
y
n
n
M
L
M
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
x
x
M
1
.
Относительно новых переменных форма
q примет вид:
22
22
2
1
1
11
...)(
ss
yyyfyq
μμ
+++=
−
. Последний пункт теоремы вытекает из
того, что ранг квадратичной формы не меняется при невырожден-
ном преобразовании, а ранг матрицы
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
00
0
2
1
11
O
O
s
f
μ
μ
равен числу ненулевых элементов на главной диагонали.
Б) Для всех
0,1: =≤≤
ii
fnii .
Так как
0≠q , то существует коэффициент 0
≠
ij
f . Меняя нумера-
цию, можно считать, что
12
ff
ij
=
. Совершим преобразование пере-
менных:
niyxyyxyyx
ii
,...,3,,,
212211
=
=+
=
−= . Определитель матрицы этого
преобразования 
 А) Существует номер i, для которого f ii ≠ 0 . Меняя нумерацию пе-
ременных, будем считать, что i = 1 . Тогда
                                                                                  n
q( x ) = f11−1 ( f11 x1 + f12 x 2 + ... + f1n x n ) + g ( x ) , где g ( x ) =   ∑g
                                                  2
                                                                                           x x j - квадра-
                                                                                          ij i
                                                                                i, j =2


тичная форма от переменных x2 ,..., xn . По предположению индукции

                                        ⎛ x2 ⎞     ⎛ y2 ⎞
                                        ⎜ ⎟        ⎜ ⎟
существует невырожденное преобразование ⎜ M ⎟ = Q1 ⎜ M ⎟, Q1 ≠ 0, та-
                                        ⎜x ⎟       ⎜y ⎟
                                        ⎝ n⎠       ⎝ n⎠

кое, что g ( y ) = μ 2 y 22 + ... + μ s y s2 . Рассмотрим преобразование
       ⎡ f11    f12    L      f1n ⎤
⎛ y1 ⎞ ⎢                          ⎥   ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟      0                            ⎜ ⎟
⎜ M ⎟=⎢                           ⎥   ⎜ M ⎟.
⎜y ⎟ ⎢ M              Q1−1        ⎥   ⎜x ⎟
⎝ n⎠ ⎢ 0                          ⎥   ⎝ n⎠
       ⎣                          ⎦

 Относительно новых переменных форма q примет вид:
q( y ) = f11−1 y12 + μ 2 y 22 + ... + μ s y s2 . Последний пункт теоремы вытекает из

того, что ранг квадратичной формы не меняется при невырожден-
ном преобразовании, а ранг матрицы
                                       ⎡ f11−1                      ⎤
                                       ⎢                            ⎥
                                       ⎢         μ2            0    ⎥
                                       ⎢              O             ⎥
                                       ⎢                            ⎥
                                       ⎢                  μs        ⎥
                                       ⎢         0             0    ⎥
                                       ⎢                            ⎥
                                       ⎢                         O ⎥
                                       ⎢                            ⎥
                                       ⎣                           0⎦

 равен числу ненулевых элементов на главной диагонали.
 Б) Для всех i : 1 ≤ i ≤ n, f ii = 0 .
 Так как q ≠ 0 , то существует коэффициент f ij ≠ 0 . Меняя нумера-

цию, можно считать, что f ij = f12 . Совершим преобразование пере-
менных:
  x1 = y1 − y 2 , x2 = y1 + y 2 , xi = yi , i = 3,..., n . Определитель матрицы этого

преобразования

Страницы