Линейные операторы. Корешков Н.А. - 73 стр.

  α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en = 0 , то α1 ≠ 0 , поскольку e2 ,..., en — базис L. В та-
                               n
                                                                     ⎛ n       ⎞                  n
ком случае e1 = ∑ β i ei и                                             ∑
                                                  0 ≠ f1 (e1 ) = f1 ⎜⎜ β i ei ⎟⎟ =            ∑ β f (e , e ) = 0
                                                                                                        i         1   i   — противо-
                              i =2                                   ⎝ i=2     ⎠              i=2


речие, доказывающее линейную независимость векторов                                                                        e1 ,..., en .

Итак, мы доказали, что в базисе {ei } матрица F нашей квадратичной
формы диагональна. Так как ранг квадратичной формы величина
инвариантная, то количество ненулевых элементов на диагонали
матрицы F равно r . Следовательно, в базисе {ei } форма q имеет
вид: q( x ) = λ1 x12 + ... + λr x r2 .
 На практике эта теорема обычно формулируется и доказывается в
координатной записи.
                                                                                              n
 Теорема 2.2. (Лагранж) Пусть                                                    q( x) =   ∑f
                                                                                           i , j =1
                                                                                                      ij xi x j       — квадратичная

форма от n переменных. Тогда существует невырожденное преоб-
разование
                                                    ⎛ x1 ⎞   ⎛ y1 ⎞
                                                    ⎜ ⎟      ⎜ ⎟
                                                    ⎜ x2 ⎟   ⎜ y2 ⎟
                                                    ⎜ M ⎟ = Q⎜ M ⎟, Q ≠ 0 ,
                                                    ⎜ ⎟      ⎜ ⎟
                                                    ⎜x ⎟     ⎜y ⎟
                                                    ⎝ n⎠     ⎝ n⎠

 такое, что q( y ) = λ1 y12 + ... + λr y r2 , где все λi ≠ 0 , а r – ранг квадра-
тичной формы q.
 Доказательство. Доказательство проведем индукцией по ко-
личеству переменных n . Если n = 1 , то q( x ) = f11 x12 и утверждение
теоремы очевидно. Предположим, что для любой квадратичной
формы от m < n переменных утверждение теоремы справедливо и
                     n                      n
пусть q( x ) =     ∑f         ij   xi x j = ∑ f ii xi2 + 2      ∑f          ij   xi x j ненулевая квадратичная
                   i , j =1                i =1               1≤i < j ≤ n


форма от n переменных. Рассмотрим два случая: