Линейные операторы. Корешков Н.А. - 72 стр.

линейной формы f называется также и матрицей соответствующей
квадратичной формы. Соответственно, ранг F называется рангом
квадратичной формы и q f ( x ) = X t FX .

 Определение 2.1. Квадратиная форма q имеет в базисе                                        e1 ,..., en   ка-
                                                            n                  n
нонический вид, если для любого x = ∑ xi ei , q( x ) = ∑ xi2 f ii . Базис
                                                           i =1               i =1


e1 ,..., en   называется каноническим.

 Теорема 2.1. (Лагранж) Пусть на векторном пространстве V
размерности n над полем K задана квадратичная форма q ранга
r ≤ n . Тогда в V существует канонический базис e1 ,..., en , в котором

q( x ) = λ1 x12 + ... + λr x r2 , λi ≠ 0, i = 1,..., r .



 Доказательство. Требуется построить такой базис {ei }, чтобы
соответствующая симметрическая билинейная форма f (у которой
f ( x, x ) = q( x ) ) имела свойство                  f ( ei , e j ) = 0, i ≠ j, i, j = 1,..., n . Проведем

доказательство индукцией по n = dim k V .
 При n = 1 : q( x ) = λ1 x12 и утверждение теоремы очевидно.
 Пусть e1 - такой вектор, что q(e1 ) = f (e1 , e1 ) ≠ 0 . Рассмотрим линей-
ную функцию f1 : V → k , определенную правилом: f1 ( x ) = f ( x, e1 ) .
Функция f1 ненулевая, так как f1 ( e1 ) ≠ 0 . Поэтому подпространство
L = Kerf1 = {x ∈ V , f1 ( x ) = 0} имеет размерность n-1. По предположению

индукции L обладает базисом e2 ,..., en , в котором матрица формы f,
ограниченной на L, диагональна, то есть: f ( ei , e j ) = 0, i ≠ j, i, j = 2,..., n .

По построению f ( e1 , e j ) = 0, j = 2,..., n . Следовательно, набор векторов

e1 ,..., en   имеет нужное нам свойство. Проверим, что система векторов
e1 ,..., en   - линейно независима. Если