ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Зафиксируем некоторый базис
n
ee ,...,
1
в пространстве V. Тогда мат-
рица
(
)
(
)
jiijij
eeffnjifF ,,,1,
=
≤≤= называется матрицей билиней-
ной формы
f . Если
∑
=
=
n
i
ii
exx
1
,
∑
=
=
n
i
ii
eyy
1
, то
(
)
FYXyxf
t
=, , где
()
,,...,,
21 n
t
xxxX = Y=(y
1, …,
y
n
)
t
. Действительно,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
==
n
j
jj
n
i
ii
eyexf
11
, =
()
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
∑∑ ∑∑
== ==
n
n
i
n
j
n
i
n
j
nnn
n
njijijiji
y
y
ff
ff
xxxyfxeefyx
M
L
L
L
1
11 11
1
111
21
,...,,, .
Предположим теперь, что
n
ee
′
′
,...,
1
— другой базис пространства V, а
(
)
ij
fF
′
=
′
— матрица формы f в этом базисе. Если T — матрица,
перехода от базиса
{}
i
e к базису
{
}
i
e
′
, то F
T
T
F
t
=
′
. Для получения
этой формулы воспользуемся связью координат вектора в разных
базисах. Если
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
′
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
′
nn
y
y
Y
x
x
X
MM
11
, - координаты векторов x,y в новом ба-
зисе, то
X
T
X
′
= ,
Y
T
Y
′
=
. Следовательно, f(x,y) = =
F
Y
X
t
()()
=
′′
YTFXT
t
()
YFTTX
t
t
′′
Y
F
X
t
′′′
=
. Откуда получаем выше приведенную формулу.
Определение 1.2. Рангом билинейной формы f называется ранг
соответствующей ей в каком-нибудь базисе матрицы F.
Следствие 1.2. Ранг билинейной формы является ее инвариантом,
не зависящим от выбора базиса.
Доказательство этого утверждения заключается в применении тео-
ремы о ранге произведения двух матриц, одна из которых невырож-
дена.
2. Квадратичные формы
Если для билинейной формы f выполнено условие:
() ()
xyfyxf ,, = ,
V
y
x
∈, , то f называется симметрической билинейной формой. Ука-
занное условие выполняется, если оно выполняется для базисных
Зафиксируем некоторый базис e1 ,..., en в пространстве V. Тогда мат- рица F = ( f ij ), 1 ≤ i, j ≤ n, f ij = f (ei , e j ) называется матрицей билиней- n n ной формы f . Если x = ∑ xi ei , y = ∑ yi ei , то f (x, y ) = X t FY , где i =1 i =1 X t = (x1 , x2 ,..., xn ), Y=(y1, …, yn)t. Действительно, ⎡ f11 L f1n ⎤⎛ y1 ⎞ ⎛ n n ⎞ n n n n ⎥⎜ M ⎟ . ∑ f ⎜ xi ei , ⎜ i =1 ∑ y je j ⎟ = ⎟ ∑∑ x y f (e , e ) = ∑∑ i j i j xi f ij y j = ( x1 , x2 ,..., xn )⎢⎢ L ⎥⎜ ⎟ ⎝ j =1 ⎠ i =1 j =1 i =1 j =1 ⎢⎣ f n1 L f nn ⎥⎦⎜⎝ yn ⎟⎠ Предположим теперь, что e1′ ,..., en′ — другой базис пространства V, а F ′ = ( f ij′ ) — матрица формы f в этом базисе. Если T — матрица, перехода от базиса {ei } к базису {ei′}, то F ′ = T t FT . Для получения этой формулы воспользуемся связью координат вектора в разных ⎛ x1′ ⎞ ⎛ y1′ ⎞ базисах. Если ⎜ X ′ = ⎜ M ⎟, Y ′ = ⎜⎜ M ⎟⎟ ⎟ - координаты векторов x,y в новом ба- ⎜ x′n ⎟ ⎜ y′n ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ зисе, то X = TX ′ , Y = TY ′ . Следовательно, f(x,y) = X t FY = (TX ′)t F (TY ′) = ( X ′)t T t FTY ′ = X ′t F ′Y ′ . Откуда получаем выше приведенную формулу. Определение 1.2. Рангом билинейной формы f называется ранг соответствующей ей в каком-нибудь базисе матрицы F. Следствие 1.2. Ранг билинейной формы является ее инвариантом, не зависящим от выбора базиса. Доказательство этого утверждения заключается в применении тео- ремы о ранге произведения двух матриц, одна из которых невырож- дена. 2. Квадратичные формы Если для билинейной формы f выполнено условие: f (x, y ) = f ( y , x ) , x, y ∈ V , то f называется симметрической билинейной формой. Ука- занное условие выполняется, если оно выполняется для базисных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »