Линейные операторы. Корешков Н.А. - 70 стр.

 Зафиксируем некоторый базис                                             e1 ,..., en    в пространстве V. Тогда мат-
рица F = ( f ij ), 1 ≤ i, j ≤ n, f ij = f (ei , e j ) называется матрицей билиней-
                                                           n                            n
ной формы f . Если x = ∑ xi ei , y = ∑ yi ei , то f (x, y ) = X t FY , где
                                                          i =1                         i =1


X t = (x1 , x2 ,..., xn ),                   Y=(y1,                        …,                 yn)t.              Действительно,
                                                                                                                   ⎡ f11 L     f1n ⎤⎛ y1 ⎞
  ⎛ n           n          ⎞      n    n                             n      n
                                                                                                                                     ⎥⎜ M ⎟ .
    ∑
f ⎜ xi ei ,
  ⎜ i =1      ∑     y je j ⎟ =
                           ⎟     ∑∑ x y f (e , e ) = ∑∑
                                             i   j    i        j                xi f ij y j = ( x1 , x2 ,..., xn )⎢⎢       L         ⎥⎜ ⎟
  ⎝            j =1        ⎠     i =1 j =1                          i =1   j =1
                                                                                                                   ⎢⎣ f n1 L   f nn ⎥⎦⎜⎝ yn ⎟⎠

 Предположим теперь, что e1′ ,..., en′ — другой базис пространства V, а
  F ′ = ( f ij′ ) — матрица формы f в этом базисе. Если T — матрица,

перехода от базиса {ei } к базису {ei′}, то F ′ = T t FT . Для получения
этой формулы воспользуемся связью координат вектора в разных
                                   ⎛ x1′ ⎞       ⎛ y1′ ⎞
базисах. Если                      ⎜
                             X ′ = ⎜ M ⎟, Y ′ = ⎜⎜ M ⎟⎟
                                         ⎟                         - координаты векторов x,y в новом ба-
                                   ⎜ x′n ⎟       ⎜ y′n ⎟
                                   ⎝ ⎠           ⎝ ⎠

зисе, то         X = TX ′ , Y = TY ′ .               Следовательно, f(x,y) =                              X t FY =       (TX ′)t F (TY ′) =
( X ′)t T t FTY ′   = X ′t F ′Y ′ .   Откуда получаем выше приведенную формулу.
 Определение 1.2. Рангом билинейной формы f называется ранг
соответствующей ей в каком-нибудь базисе матрицы F.
 Следствие 1.2. Ранг билинейной формы является ее инвариантом,
не зависящим от выбора базиса.
 Доказательство этого утверждения заключается в применении тео-
ремы о ранге произведения двух матриц, одна из которых невырож-
дена.
 2. Квадратичные формы


 Если для билинейной формы f выполнено условие: f (x, y ) = f ( y , x ) ,
x, y ∈ V , то f называется симметрической билинейной формой. Ука-

занное условие выполняется, если оно выполняется для базисных