Линейные операторы. Корешков Н.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Так же как для евклидовых пространств, ортонормированным ба-
зисом унитарного пространства размерности n называется совокуп-
ность из n векторов
n
ee ,...,
1
таких, что
(
)
(
)
nieenjijiee
iiji
,...,1,1|,,1,,0|
=
=
≤
≤
≠= .
Следствие 5.1. Любое конечномерное унитарное пространст-
во имеет ортонормированный базис.
Определение 5.2. Два унитарных пространства V
1
и V
2
изо-
морфны, если существует отображение
21
: VV →
ϕ
, которое биек-
тивно, линейно и сохраняет эрмитово произведение, то есть
()( )
1
,,|| Vyxyxyx ∈=
ϕ
ϕ
.
Теорема 5.2. Конечномерные унитарные пространства V
1
и V
2
изоморфны тогда и только тогда, когда
21
dimdim VV
CC
=
.
Теорема 5.3. Для любого подпространства U конечномерного
унитарного пространства V имеет место разложение:
⊥
⊕= UUV
,
где
(){}
UuuxVxU ∈=∈=
⊥
,0|, .
Доказательства всех теорем этого параграфа получаются прямым
повторением соответствующих рассуждений для евклидовых про-
странств. 
 Так же как для евклидовых пространств, ортонормированным ба-
зисом унитарного пространства размерности n называется совокуп-
ность из n векторов                e1 ,..., en   таких, что
                         (e | e ) = 0, i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n, (e | e ) = 1,
                           i   j                              i   i         i = 1,..., n .

       Следствие 5.1. Любое конечномерное унитарное пространст-
во имеет ортонормированный базис.
       Определение 5.2. Два унитарных пространства V1 и V2 изо-
морфны, если существует отображение ϕ : V1 → V2 , которое биек-
тивно, линейно и сохраняет эрмитово произведение, то есть
(x | y ) = (ϕx | ϕy ), x, y ∈ V1 .
        Теорема 5.2. Конечномерные унитарные пространства V1 и V2
изоморфны тогда и только тогда, когда dim C V1 = dim C V2 .
        Теорема 5.3. Для любого подпространства U конечномерного
унитарного пространства V имеет место разложение: V = U ⊕ U ⊥ ,
где   U ⊥ = {x ∈V , (x | u ) = 0, u ∈U } .

 Доказательства всех теорем этого параграфа получаются прямым
повторением соответствующих рассуждений для евклидовых про-
странств.

Страницы