Линейные операторы. Корешков Н.А. - 67 стр.

взять вектора v1 = (2,−1,3,0), v2 = (1,−1,0,3) . Для нахождения проекции
вектора x на подпространство U , то есть нахождения таких
y ∈ U , z ∈ U ⊥ , что x = y + z , представим y в виде y1a1 + y 2 a 2 . Тогда из

условия, что (z | ai ) = 0, i = 1,2 , получим следующую систему уравне-
ний:
                                         y1 (a1 | a1 ) + y 2 (a 2 | a1 ) = ( x | a1 )

                                        y1 (a1 | a 2 ) + y 2 (a 2 | a 2 ) = ( x | a 2 ) .

 Решая ее, получим y1 = 1, y 2 = −1, то есть y = (2,1,−1,1) .
 5. Унитарное пространство


 Определение 5.1. Отображение ( | ): V×V→C на комплексном ли-
нейном пространстве V называется эрмитовым произведением, ес-
ли:
 1)        (x | y ) = ( y | x ), x, y ∈V , то есть (x | x ) ∈ R ,
 2)        (α1 x1 + α 2 x2 | y ) = α1 (x1 | y ) + α 2 (x2 | y ), x1 , x2 , y ∈V
 3)        (x | x ) > 0 , если       x ≠ 0.

 Комплексное линейное пространство, снабженное эрмитовым
произведением, называется унитарным пространством.
 Свойства 1 и 3 позволяют определить длину вектора как                                                            (x | x ) с
выполнением тех же свойств длины вектора, что и в евклидовом
случае.
 Для унитарных пространств выполняются утверждения, аналогич-
ные утверждениям для евклидовых пространств.
 Теорема 5.1. Пусть                       U = a1 ,..., am      ненулевое подпространство уни-
тарного пространства V. Тогда существуют ненулевые вектора
b1 ,..., bs , s ≤ m   такие, что          (b | b ) = 0,
                                            i    j          1 ≤ i, j ≤ s, i ≠ j      и      U = b1 ,..., bs   .