Линейные операторы. Корешков Н.А. - 65 стр.

 Теорема 3.1. Конечномерные евклидовы пространства V,V’ изо-
морфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.
 Доказательство.                      Если евклидовы пространства V,V’                                           изо-
морфны, то они, в частности, изоморфны, как линейные простран-
ства. А поэтому, в силу теоремы 1.4.3, их размерности совпадают.
 Пусть       dim R V = dim R V ′ = n .    Тогда, как показано в предыдущем пара-
графе, в каждом из этих пространств существует ортонормирован-
ный базис. Обозначим эти базисы через                            e1 ,..., en   и      e1′ ,..., en′   соответст-
венно.           Определим                отображение            ϕ :V → V '                 по          правилу

  (   n
             )
ϕ ∑i =1α i ei = ∑i =1α i ei′, α i ∈ R .
                    n
                                          Так же как в теореме 1.4.3. легко убедить-

ся, что φ – изоморфизм линейных пространств. Если теперь
       n                 n                        n                             n                          n
x=    ∑ α i ei , y = ∑ β i ei , то (x | y ) =
      i =1              i =1
                                                 ∑ α i β i . Но ϕ (x ) = ∑α i ei′ , ϕ ( y ) = ∑ β i ei′
                                                 i =1                          i =1                       i =1

                          n
и (ϕ ( x ) | ϕ ( y ) ) = ∑ α i β i . Следовательно, (x | y ) = (ϕ ( x) | ϕ ( y ) ), x, y ∈ V , то
                         i =1


есть ϕ - изоморфизм евклидовых пространств.


 4. Ортогональное дополнение


 При разложении трехмерного пространства в сумму подпро-
странств меньшей размерности часто в качестве дополнения к плос-
кости выбирается перпендикулярная ей прямая (и наоборот). Рас-
смотрим, как эта конструкция обобщается на случай произвольного
конечномерного евклидова пространства.
 Определение 4.1. Пусть U – подпространство евклидова про-
странства V. Ортогональным дополнением подпространства U
называется следующая совокупность векторов:
                                    U ⊥ = {x ∈V | (x, u ) = 0, ∀u ∈U } .

 Легко проверить, что U ⊥ - подпространство.