Линейные операторы. Корешков Н.А. - 64 стр.

  Аналогично,
                                                      (a3 | b2 )
                                            λ32 = −              = −1 .
                                                      (b2 | b2 )

 Поэтому            b3 = (1,1,1,1) − 2(1,0,1,0) − (1,1,−1,1) =(0,0,0,0).       Итак,       U = b1 ,b2   , при-
чем     (b2 | b1 ) = 0 .

 Определение 2.1. Система векторов a1 ,..., am называется орто-
нормированной, если (ai | a j ) = 0,1 ≤ i, j ≤ m, i ≠ j, (ai | ai ) = 1 .

 Следствие 2.1. Конечномерное евклидово пространство имеет
ортонормированный базис.
 Доказательство: Пусть V — евклидово пространство размерно-
сти n, a1 , a 2 ,..., an - некоторый базис пространства V . Применяя про-
цедуру ортогонализации, найдем вектора b1 , b2 ,..., bm , m ≤ n , такие, что
(bi   | b j ) = 0,1 ≤ i, j ≤ m, i ≠ j и V = b1 , b2 ,..., bm . Но тогда m = n и b1 ,..., bm об-

                                                                                         bi        b
разуют базис V . Обозначим через ei вектора вида                                                 = i    . То-
                                                                                       (bi | bi ) bi

гда (ei | ei ) = 1,    i = 1,K, n   и, кроме того        (e | e ) = 0,
                                                           i   j          i ≠ j , 1 ≤ i, j ≤ n .   Следова-

тельно, вектора            e1 ,..., en   образуют ортонормированный базис.


 3. Изоморфизм евклидовых пространств


 Также как для линейных пространств, структура евклидова про-
странства определяется его размерностью.
 Определение 3.1. Два евклидовых пространства V1 и V2 изоморф-
ны (V1 ≅ V2 ) , если существует отображение ϕ : V1 → V2 , которое за-
дает изоморфизм линейных пространств и сохраняет скалярное
произведение, то есть (ϕx | ϕy ) = (x | y ), x, y ∈ V1 .