Линейные операторы. Корешков Н.А. - 66 стр.

 Теорема 4.1.           Для любого подпространства U евклидова про-
странства V имеет место разложение V = U ⊕ U ⊥ .
 Доказательство. Пусть                           a1 ,..., am   - некоторый базис U. Допол-
ним его до базиса         a1 ,..., am ,..., an   всего пространства V. Применяя про-
цесс           ортогонализации,           построим              ортонормированный               базис
e1 ,..., em ,..., en пространства V. Причем вектора e1 ,..., em образуют орто-

нормированный базис подпространства U. Обозначим W=                                       em +1 ,..., en   .
Тогда V = U ⊕ W (по свойству 1.7.3). И, по определению ортогональ-
ного дополнения, W ⊆ U ⊥ .
 С другой стороны, если x ∈U ⊥ , то в его разложении по базису
e1 ,..., en    первые m координат будут нулевыми. Действительно, если
       n
x=   ∑ x e , то из условия (x | e ) = 0, j = 1,..., m , получим
      i =1
              i i                         j                              x j = 0, j = 1,..., m .   Сле-

довательно, U ⊥ ⊆ W . Итак, V = U ⊕ U ⊥ . Теорема доказана.
 Представление вектора x ∈ V в виде суммы y + z, y ∈ U , z ∈ U ⊥ назы-
вают ортогональным разложением, а вектора y и z называют орто-
гональными проекциями на U параллельно U ⊥ и, соответственно,
на U ⊥ параллельно U .


 Пример: V = R 4 , U = a1 , a 2 , a1 = (1,2,0,1), a 2 = (− 1,1,1,0) . Найти U ⊥ и про-

екцию вектора x = (3,0,1,2 ) на U параллельно U ⊥ .
 Из определения U ⊥ следует, что v ∈ U ⊥ ⇔ (v | ai ) = 0, i = 1,2 . Следова-
тельно, U ⊥ — множество решений однородной системы линейных
уравнений
                                          x1 + 2 x2 + x4 = 0
                                                                  .
                                          − x1 + x 2 + x3 = 0

 Поэтому базис U ⊥ - это фундаментальная система решений ука-
занной системы уравнений. Например, в качестве таковой можно