Линейные операторы. Корешков Н.А. - 63 стр.

                                             λkj = −
                                                       (a k        ).
                                                                | bj
                                                       (b   j   |b )
                                                                   j


 Подставляя эти значения в выражение для bk , вычисляем очеред-
ной вектор. Если он оказался нулевым, то при дальнейших построе-
ниях его не учитываем. Через m шагов мы получим s ≤ m ненуле-
вых, взаимно ортогональных векторов. Обозначим их b1′, b2′ ,..., bs′ . Так
как ak = bk − λk1b1 − λkr br − ... − λkt bt , то U ⊆ b1′,..., bs′ . С другой стороны,

если уже известно, что b1 , br ,..., bt ∈ U , то из формулы для bk следует,
что и bk ∈ U . Итак, U = b1′,..., bs′ . Заметим, что вектора b1′,..., bs′ образу-
                                                                                      s
ют базис подпространства U . Действительно, если                                     ∑ α b' = 0
                                                                                     i =1
                                                                                                 i   i   для не-

которых α i ∈ R, i = 1,..., s , то, умножая последнее соотношение на b′j ,

получим: α j (b′j | b′j ) = 0 , то есть α j = 0, j = 1,..., s .
 Процедура, использованная для доказательства теоремы 2.1 назы-
вается процессом ортогонализации.
 Пример. Пусть V=R4, скалярное произведение векторов задается
                                                                                            4
как в примере 1, параграфа 1, т.е.                                          ( x | y ) = ∑ xi y i ,        x.y ∈ R4.
                                                                                          i =1


Подпространство               U       натягивается                     на   вектора:                 a1=(1,0,1,0),
a2=(2,1,0,1), a3=(3,1,1,1).
 В качестве первого вектора ортогональной системы возьмем
b1 = a1 = (1,0,1,0) . Вектор b2 ищем в виде a 2 + λ 21b1 . Условие (b2 | b1 ) = 0

дает:
                                                    (a2 | b1 )
                                          λ21 = −              = −1 .
                                                    (b1 | b1 )

 Тогда        b2 = (2,1,0,1) − (1,0,1,0) = (1,1,−1,1) .          Ищем        b3 = a3 + λ31b1 + λ32b2 .         Из
(b3 | b1 ) = 0 следует

                                                    (a3 | b1 )
                                          λ31 = −              = −2 .
                                                    (b1 | b1 )