Линейные операторы. Корешков Н.А. - 61 стр.

 Определение 3.2. Длиной вектора x из евклидова пространства V
будем называть положительное действительное число                                     (x | x ) ,
которое обозначим ||x||.
 Легко видеть, что              λx = λ x , λ ∈ R . Для проверки неравенства

 x + y ≤ x + y , которое по аналогии с трехмерным случаем называ-

ется неравенством треугольника докажем следующую теорему.
 Теорема 3.1.(неравенство Коши-Буняковского) Для любых двух
векторов x,y из евклидова пространства V справедливо неравенст-
во (x | y ) ≤ x y .

 Доказательство. Для любого λ ∈ R : (λx − y | λx − y ) ≥ 0 . Следо-
вательно, λ2 (x | x ) − 2λ (x | y ) + ( y | y ) ≥ 0 . Но квадратный трехчлен при-
нимает только неотрицательные значения, если и только если его
дискриминант D = (x | y )2 − (x | x )( y | y ) ≤ 0 . Последнее неравенство
равносильно сформулированной теореме.
 Заметим, что если (x | y ) =          x y   , то D=0 и существует единственное
вещественное λ0, для которого (λ0 x − y | λ0 x − y ) = 0 , то есть вектора x и
y коллинеарны. Обратное также справедливо. То есть неравенство
Коши-Буняковского для неколлинеарных векторов строгое, а для
коллинеарных превращается в равенство.
 Следствие 3.1.       x+ y ≤ x + y

 Доказательство.
                      x + y = (x + y | x + y ) = (x | x ) + 2(x | y ) + ( y | y ) ≤
                            2


                          ≤ x +2 x ⋅ y + y =(x + y )
                             2                  2              2



 Извлекая корень из левой и правой частей неравенства, имеем ут-
верждение следствия. Перепишем неравенство Коши-Буняковского
следующим образом:

                                         −1 ≤
                                                (x | y ) ≤ 1 .
                                                 x⋅ y