Линейные операторы. Корешков Н.А. - 60 стр.

 Определение 3.1.                       Скалярным произведением на вещественном
пространстве V называют отображение (· | ·) из декартова квад-
рата V×V в поле действительных чисел R, обладающее следующи-
ми свойствами:
 1.      (x | y) = (y | x), x,y                ∈V

 2.      (α1 x1 + α 2 x2 | y ) = α1 (x1 | y ) + α 2 (x2 | y ), α1 ,α 2 ∈ R, x1 , x2 , y ∈V
 3.      (x | x ) > 0, если        x ≠ 0, x ∈V



 Примеры:
 1) Пусть V — n-мерное векторное пространство над R. Выберем
                                               из V. Пусть x= ∑i =1 xi ei ,                                      ∑
                                                                                           n                         n
некоторый базис                  e1 ,..., en                                                               y=        i =1
                                                                                                                            yi ei   - любые

два вектора из V. Определим скалярное произведение x и y следую-
щей формулой: (x | y) = ∑i =1 xi yi . Тогда
                                                n




                                     (y | x) = ∑i =1 yi xi = ∑i =1 xi yi =(x | y),
                                                        n                    n



                       n                                      n                      n
 (α ′x'+α ′′x′′ | y ) = ∑ ( α ′xi′   + α ′′xi′′ ) yi = α ′  ∑       xi′ yi + α ′′∑ x′′y        i i   = α ′( x′ | y ) + α ′′(x′′ | y ) ,   (x |
                      i =1                                   i =1                   i =1



       ∑
           n
x) =           x2
           i =1 i
                    > 0,   так как все              xi2 ≥ 0    и существует i0, для которого                                          xi0 ≠ 0 ,

если    x≠0.

 2) Пусть V=C[a,b] – пространство непрерывных функций на ин-
тервале [a,b]. Для любой пары функций f,g ∈ C[a,b] определим ото-
                             b
бражение ( f         | g)=   ∫ f (x )g (x )dx . Легко видеть, что свойства 2, 3 скаляр-
                             a


ного произведения вытекают из соответствующих свойств интегра-
ла, а свойство 1 следует из коммутативности произведения функ-
ций.
 Вещественное линейное пространство, снабженное скалярным
произведением, будем называть евклидовым пространством.
 Введем понятие длины вектора.