Линейные операторы. Корешков Н.А. - 62 стр.

 Тогда, обозначая (x | y ) через cos ϕ , будем называть ϕ углом между
                              x⋅ y

векторами x и y, считая, что 0 ≤ ϕ ≤ π .


 Определение 3.3. Вектора x и y евклидова пространства V назы-
ваются ортогональными, если (x | y ) = 0 , то есть угол φ между x и y

равен π .
           2

 2. Процесс ортогонализации


 При изучении метрических свойств трехмерного пространства
обычно выбирают базис из трех взаимно ортогональных векторов
единичной длины. Покажем, что в произвольном n-мерном евкли-
довом пространстве также существует аналогичный базис.
 Теорема 2.1. Пусть U = a1 ,..., a m - ненулевое подпространство в

евклидовом пространстве V. Тогда существуют ненулевые вектора
b1 ,..., bs , s ≤ m такие, что (bi | b j ) = 0, 1 ≤ i, j ≤ s, i ≠ j и U = b1 ,..., bs .

 Доказательство. Так как U ≠ 0 , то один из образующих ai ≠ 0 .
Меняя нумерацию, можно считать, что это a1 . В качестве вектора
b1 возьмем a1 . Следующий вектор b2 ищем в виде: b2 = a 2 + λ21b1 . Из

условия (b2 | b1 ) = 0 получим: (a 2 | b1 ) + λ21 (b1 | b1 ) = 0 . Так как b1 ≠ 0 , то

(b1 | b1 ) ≠ 0 , то есть   λ21 = −
                                     (a2 | b1 ) . Если b ≠ 0 , то b ищем в виде
                                     (b1 | b1 )         2          3



b3 = a3 + λ31b1 + λ32b2 . Если b2 = 0 , то b3 ищем в виде b3 = a3 + λ31b1 . Пусть

уже найдены ненулевые взаимно ортогональные вектора b1 , br ,..., bt за
k − 1 шаг. Тогда bk ищем в виде

bk = a k + λk 1b1 + λkr br + ... + λkt bt ,1 < r < ... < t . Из условий

(bk   | b j ) = 0, j ∈ {1, r,..., t} находим