Линейные операторы. Корешков Н.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 10.4. Если
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
λ
λ
λ
1000
0001
0000
L
LLL
L
L
A
, то минимальный много-
член μ
A
(x) равен
()
m
x
λ
− , где m – размер матрицы A.
Доказательство. Как следует из вычислений в доказательстве
теоремы 9.2
()
0=−
m
EA
λ
. Поэтому
(
)
(
)
m
A
xx
λμ
−| . Но все делители
многочлена
()
m
x
λ
− имеют вид
(
)
mkx
k
≤≤− 1,
λ
. Если
() ( )
mtxx
t
A
<−= ,
λμ
, то
()
0=−
t
EA
λ
. Это противоречит виду матрицы
()
t
EA
λ
− , которая равна
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0100
0001
0000
0000
L
LLL
L
L
LLL
L
.
Следовательно,
() ( )
m
A
xx
λμ
−= .
Теорема 10.5. Минимальный многочлен μ
A
(x) матрицы A равен
()
∏
=
−
s
i
m
i
i
x
1
λ
, где
s
λ
λ
,...,
1
все различные собственные значения матри-
цы A, а m
i
– максимальный размер жордановой клетки, отвечающей
собственному значению λ
i
.
Доказательство. В силу леммы 10.2 минимальный многочлен
μ
A
(x) матрицы A совпадает с минимальным многочленом μ
J
(x)
жордановой нормальной формы этой матрицы. Пусть
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
J
J
J
O
1
,
где
t
J - матрица, состоящая из блоков, отвечающих собственному
значению
t
λ
. Тогда по лемме 10.3
(
)
x
t
J
μ
есть наименьшее общее
кратное минимальных многочленов
(
)
(
)
i
ti
xx
λμ
−= для каждого
жорданова блока размерности i, то есть
(
)
(
)
t
t
m
tJ
xx
λμ
−= , где m
t
-
размер максимального из таких блоков. 
                                  ⎡ λ 0 0 L 0 0⎤
                                  ⎢ 1 λ 0 L 0 0⎥
 Лемма 10.4. Если             A = ⎢L     L   L ⎥,           то минимальный много-
                                  ⎢⎣ 0 0 0 L 1 λ ⎥⎦

член μA(x) равен (x − λ )m , где m – размер матрицы A.
 Доказательство. Как следует из вычислений в доказательстве
теоремы 9.2 ( A − λE )m = 0 . Поэтому μ A (x ) | (x − λ )m . Но все делители
многочлена (x − λ )m имеют вид (x − λ )k ,1 ≤ k ≤ m . Если
     μ A (x ) = (x − λ )t , t < m , то ( A − λE )t = 0 . Это противоречит виду матрицы

( A − λE )t , которая равна
                                    ⎡0   0 L       0 0⎤
                                    ⎢L     L         L⎥
                                    ⎢0   0 L       0 0⎥.
                                    ⎢1   0 L       0 0⎥
                                    ⎢L     L         L⎥
                                    ⎢0   0 L       1 0 ⎥⎦
                                    ⎣

 Следовательно, μ A (x ) = (x − λ )m .
 Теорема 10.5. Минимальный многочлен μA(x) матрицы A равен
 s

∏ (x − λ )          , где λ1 ,..., λs все различные собственные значения матри-
               mi
           i
i =1


цы A, а mi – максимальный размер жордановой клетки, отвечающей
собственному значению λi.
 Доказательство. В силу леммы 10.2 минимальный многочлен
μA(x) матрицы A совпадает с минимальным многочленом μJ(x)
                                                                           ⎡ J1        ⎤
жордановой нормальной формы этой матрицы. Пусть                         J =⎢    O      ⎥,
                                                                           ⎢      J s ⎥⎦
                                                                           ⎣

где J t - матрица, состоящая из блоков, отвечающих собственному
значению λt . Тогда по лемме 10.3 μ J (x ) есть наименьшее общее
                                               t



кратное минимальных многочленов μ i (x ) = (x − λt )i для каждого

жорданова блока размерности i, то есть μ J (x ) = (x − λt )m , где mt -
                                                        t
                                                                    t




размер максимального из таких блоков.

Страницы