Линейные операторы. Корешков Н.А. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В силу предложения 10.1
(
)
(
)
(
)
xxqx
AB
μ
μ
=
. Аналогично,
() () ()
xxpx
BA
μ
μ
= . То есть
(
)
(
)
(
)
(
)
xxpxqx
BB
μ
μ
=
. Отсюда
()()
kxpxq ∈ , а
из сравнения старших коэффициентов следует, что
() ()
1== xpxq
.
Итак,
() ()
xx
BA
μ
μ
=
.
Лемма 10.3. Если
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
A
A
A
A
0
0
2
1
O
блочнодиагональная матри-
ца, то минимальный многочлен
(
)
x
A
μ
матрицы A равен
()
{
}
()
−xxxHOK
is
AAA
μ
μ
μ
,)(,...,
1
минимальный многочлен матрицы
i
A .
Доказательство. Если
(
)
[
]
xkxf
∈
- произвольный многочлен, а
A - блочнодиагональная матрица, указанная в лемме, то
()
(
)
()
()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
Af
Af
Af
Af
0
0
2
1
O
.
Поэтому
(
)
siA
iA
,...,1,0 ==
μ
. По предложению 10.1 минимальный
многочлен
(
)
x
A
μ
матрицы A делится на каждый минимальный мно-
гочлен
()
x
i
A
μ
. Следовательно, он делится на их наименьшее общее
кратное, обозначаемое в дальнейшем
(
)
xm . С другой стороны,
()
0=
i
Am , так как
() ()
xmx
i
A
|
μ
. Значит
()
(
)
()
0
1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
Am
Am
Am
O
.
Опять, используя предложение 10.1, имеем:
(
)
(
)
xmx
A
|
μ
. Рассуждая
далее как в конце леммы 10.2, получим, что
(
)
(
)
xmx
A
=
μ
. 
 В        силу      предложения               10.1          μ B ( x ) = q( x )μ A ( x ) .   Аналогично,
μ A (x ) = p ( x )μ B ( x ) . То есть μ B (x ) = q(x ) p (x )μ B ( x ) . Отсюда q(x ) p( x ) ∈ k , а

из сравнения старших коэффициентов следует, что q(x ) = p (x ) = 1 .
Итак, μ A (x ) = μ B (x ) .


                      ⎡ A1                             0⎤
                      ⎢                     A2            ⎥
 Лемма 10.3. Если A = ⎢                                   ⎥ блочнодиагональная матри-
                      ⎢                              O    ⎥
                      ⎢                                   ⎥
                      ⎣0                               As ⎦

ца,    то         минимальный           многочлен                μ A (x )    матрицы          A   равен
      {                   }
HOK μ A1 ( x ),..., μ As ( x ) , μ Ai ( x ) − минимальный многочлен матрицы Ai .

 Доказательство. Если f (x ) ∈ k [x ] - произвольный многочлен, а
A - блочнодиагональная матрица, указанная в лемме, то
                                        ⎡ f ( A1 )                       0 ⎤
                                        ⎢             f ( A2 )                ⎥
                               f ( A) = ⎢                                     ⎥.
                                                                 O
                                        ⎢                                     ⎥
                                        ⎣ 0                           f ( As )⎦

 Поэтому μ A ( Ai ) = 0, i = 1,..., s . По предложению 10.1 минимальный
многочлен μ A (x ) матрицы A делится на каждый минимальный мно-
гочлен μ A (x ) . Следовательно, он делится на их наименьшее общее
              i



кратное, обозначаемое в дальнейшем m(x ) . С другой стороны,
                                                           ⎡m( A1 )           ⎤
m( Ai ) = 0 , так как μ Ai ( x ) | m( x ) . Значит m( A) = ⎢        O         ⎥ = 0.
                                                           ⎢                  ⎥
                                                           ⎢⎣         m( As )⎥⎦

 Опять, используя предложение 10.1, имеем: μ A (x ) | m(x ) . Рассуждая
далее как в конце леммы 10.2, получим, что μ A (x ) = m(x ) .

Страницы