Линейные операторы. Корешков Н.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2) среди всех многочленов, удовлетворяющих условию 1, степень
f(x) - минимальна,
3) старший коэффициент многочлена f(x) равен 1.
Предложение 10.1. Любой многочлен, аннулируемый матрицей
A ,
делится на минимальный многочлен этой матрицы.
Доказательство. Пусть
(
)
x
A
μ
— минимальный многочлен
матрицы
A
, а
()
[]
xkxf ∈ такой, что
(
)
0
=
Af . Тогда существуют мно-
гочлены
()
(
)
[]
xkxrxq ∈, , что
(
)
(
)
(
)
(
)
xrxxqxf
A
+
=
μ
, причем либо
()
0=xr ,
либо
() ()
xxr
A
μ
degdeg < .
Предположим, что
()
0
≠
xr . Тогда
(
)
(
)
(
)()
ArAAqAf
A
+
=
μ
. Но
() ()
0== AAf
A
μ
, то есть
()
0
=
Ar . Так как
(
)()
xxr
A
μ
degdeg
<
, то полу-
чаем противоречие с минимальностью степени μ
A
(x) . Следователь-
но,
()
0=xr и )(xf делится на μ
A
(x).
Следствие 10.1. Минимальный многочлен определен однозначно.
Доказательство. Пусть
(
)
x
1
μ
и
(
)
x
2
μ
два минимальных много-
члена матрицы A. В силу п.2 определения 10.1
(
)()
xx
21
degdeg
μ
μ
= .
Тогда из предложения 10.1 вытекает, что
(
)
(
)
kccxcx ∈≠
=
,0,
21
μ
μ
. На-
конец, сравнивая старшие коэффициенты в последнем равенстве,
получим c=1.
Лемма 10.2. Минимальные многочлены подобных матриц совпа-
дают.
Доказательство. Пусть
A и
B
две подобные матрицы, то есть
0,
1
≠=
−
TBTTA . Обозначим через
()
∑
=
=
m
i
i
iA
xax
0
μ
и
()
∑
=
=
n
i
i
iB
xbx
0
μ
- ми-
нимальные многочлены этих матриц. Тогда
()
()
()
0
1
0
1
0
1
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
−
=
−
=
−
∑∑
TBTTBbTTBTbA
B
n
i
i
i
n
i
i
iB
μμ
. 
 2) среди всех многочленов, удовлетворяющих условию 1, степень
f(x) - минимальна,
 3) старший коэффициент многочлена f(x) равен 1.
 Предложение 10.1. Любой многочлен, аннулируемый матрицей A ,
делится на минимальный многочлен этой матрицы.
 Доказательство. Пусть μ A (x ) — минимальный многочлен
матрицы A , а f (x ) ∈ k [x ] такой, что f ( A) = 0 . Тогда существуют мно-
гочлены q(x ), r (x ) ∈ k [x ], что f (x ) = q(x )μ A (x ) + r (x ) , причем либо r (x ) = 0 ,
либо deg r (x ) < deg μ A (x ) .
 Предположим,             что           r (x ) ≠ 0 .   Тогда         f ( A) = q( A)μ A ( A) + r ( A) .   Но
f ( A) = μ A ( A) = 0 , то есть r ( A) = 0 . Так как                deg r ( x ) < deg μ A ( x ) , то полу-

чаем противоречие с минимальностью степени μA(x) . Следователь-
но, r (x ) = 0 и f ( x ) делится на μA(x).
 Следствие 10.1. Минимальный многочлен определен однозначно.


 Доказательство. Пусть μ1 (x ) и μ 2 (x ) два минимальных много-
члена матрицы A. В силу п.2 определения 10.1 deg μ1 (x ) = deg μ 2 (x ) .
Тогда из предложения 10.1 вытекает, что μ1 (x ) = cμ 2 (x ), c ≠ 0, c ∈ k . На-
конец, сравнивая старшие коэффициенты в последнем равенстве,
получим c=1.
 Лемма 10.2. Минимальные многочлены подобных матриц совпа-
дают.
 Доказательство. Пусть A и B две подобные матрицы, то есть
                                                                 m                           n
A = T BT , T ≠ 0 . Обозначим через μ A (x ) = ∑ ai x и μ B ( x ) = ∑ bi x i - ми-
       −1                                                                 i

                                                                i =0                        i =0


нимальные многочлены этих матриц. Тогда
                                                       ⎛        ⎞
                                    (           )
                              n                            n
                   μ B ( A) = ∑ bi T −1 B iT = T −1 ⎜⎜ ∑ bi B i ⎟⎟T = T −1μ B (B )T = 0 .
                             i =0                      ⎝ i =0   ⎠

Страницы