Линейные операторы. Корешков Н.А. - 54 стр.

          ⎡ B1                              0⎤
          ⎢                      B2            ⎥
 Если B = ⎢                                    ⎥ блочнодиагональная матрица, то, оче-
          ⎢                               O    ⎥
          ⎢                                    ⎥
          ⎣0                                Bp ⎦
                         p
видно, rB = ∑ rBi (Здесь и далее rC - ранг матрицы C ). Следова-
                     i =1


тельно, для вычисления ранга матрицы ( J − λ j E ) t достаточно вычис-

лить ранг отдельного блока размера m :
                                                                                           κ
                                        ⎡λs − λ j        0     L      0     ⎤        0
                                        ⎢ 1           λs − λ j L      0     ⎥        0
                         J κ (λ − λ ) = ⎢                                   ⎥ .
                                        ⎢ L                          L ⎥
                             m   s    j
                                                        L      L L
                                        ⎢                                   ⎥
                                        ⎣ 0             0      L 1 λs − λ j ⎦

 1)         Если λs − λ j ≠ 0 , то rJ mκ (λ s − λ j ) = m для любого κ , так как

  J mκ (λ s − λ j ) ≠ 0 .

                                                                              ⎡0         0 L L L 0⎤
                                                                              ⎢L         O L L L L⎥⎥
                                                                              ⎢
                                                                              ⎢0         L 0 L L 0⎥
 2)         Пусть                     λs = λ j .      Тогда        J m (0 ) = ⎢
                                                                     κ
                                                                                                    ⎥,
                                                                              ⎢1         O   O      ⎥
                                                                              ⎢          O O   O    ⎥
                                                                              ⎢                     ⎥
                                                                              ⎢⎣ 0         1 0 L 0 ⎥⎦

1 ≤ κ ≤ m − 1, J mκ (0) = 0, κ ≥ m ,          где единицы стоят на к-той побочной диаго-
нали и их количество равно m-k, κ = 1,..., m − 1 . Следовательно,
             ⎧m − κ ,1 ≤ κ ≤ m − 1
rJ mκ (0 ) = ⎨                     .
             ⎩0, κ ≥ m

 В рекуррентной форме последнее соотношение примет вид:
rJ mκ (0 ) = rJ mκ −1 (0) − 1,1 ≤ κ ≤ m . Поэтому при переходе от                              (J − λ E )
                                                                                                     j
                                                                                                         κ −1
                                                                                                                к

(J − λ E )
        j
              κ
                  ранг уменьшается на количество клеток, отвечающих зна-

чению             λj ,           размеры           которых    не    меньше                κ,       то       есть

rκ (λ j ) = rκ −1 (λ j ) − iκ (λ j ) − iκ +1 (λ j ) − ... . В частности, при κ = 1 ранг J − λ j E