Линейные операторы. Корешков Н.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

меньше размера матрицы
J
на величину, равную количеству всех
клеток, отвечающих собственному значению
j
λ
.
Аналогично
(
)
(
)
(
)
(
)
...
211
−
−
−
=
+++ jjjj
iirr
λ
λ
λ
λ
κκκκ
.
Вычитая из первого соотношения второе, получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
11 jjjjj
irrrr
λ
λ
λ
λ
λ
κκκκκ
−
−
=
−
−+
.
Или
(
)
(
)
(
)
(
)
jjjj
rrri
λ
λ
λ
λ
κκκκ
11
2
+−
+
−= .
Следствие 9.3. Жорданова нормальная форма с точностью до пе-
рестановки жордановых клеток определяется однозначно.
Пример. Пусть A матрица из предыдущего примера. Ее характе-
ристические корни
1
4321
=
=
=
=
λ
λ
λ
λ
. Вычисляем степени матрицы
A–E:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
=−
0011
0011
1111
1111
EA
,
() ()
2,
0000
0000
0000
0000
2
≥−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−
κ
κ
EAEA .
Поэтому
()
(
)
(
)
.2,01,01,21
21
≥
=
=
=
κ
κ
rrr Следовательно,
() () ()
011241
211
=+−= rri
,
(
)
(
)
(
)
(
)
211211
3212
=
+
−
=
rrri . Таким образом,
жорданова форма состоит из двух жордановых клеток размера 2.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1100
0100
0011
0001
J
.
10. Минимальный многочлен матрицы
Определение 10.1. Многочлен
(
)
[
]
xkxf
∈
называется минимальным
многочленом матрицы
(
)
kaaA
ijij
∈
=
,
, если
1) f(A) =0, то есть многочлен f(x) аннулируется матрицей A, 
меньше размера матрицы J на величину, равную количеству всех
клеток, отвечающих собственному значению λ j .

 Аналогично rκ +1 (λ j ) = rκ (λ j ) − iκ +1 (λ j ) − iκ + 2 (λ j ) − ... .

 Вычитая из первого соотношения второе, получим:
                             rκ (λ j ) − rκ +1 (λ j ) = rκ −1 (λ j ) − rκ (λ j ) − iκ (λ j ). .

 Или iκ (λ j ) = rκ −1 (λ j ) − 2rκ (λ j ) + rκ +1 (λ j ) .

 Следствие 9.3. Жорданова нормальная форма с точностью до пе-
рестановки жордановых клеток определяется однозначно.
 Пример. Пусть A матрица из предыдущего примера. Ее характе-
ристические корни λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1 . Вычисляем степени матрицы
A–E:
                   ⎡− 1         1 − 1 1⎤                         ⎡0     0    0    0⎤
                   ⎢− 1         1 − 1 1⎥⎥                        ⎢0     0    0    0⎥⎥
              A−E =⎢                      ,        ( A − E )2   =⎢                    = ( A − E ) ,κ ≥ 2 .
                                                                                                 κ
                   ⎢− 1         1 0 0⎥                           ⎢0     0    0    0⎥
                   ⎢                    ⎥                        ⎢                  ⎥
                   ⎣− 1         1 0 0⎦                           ⎣0     0    0    0⎦

 Поэтому                      r1 (1) = 2, r2 (1) = 0, rκ (1) = 0, κ ≥ 2.                          Следовательно,
i1 (1) = 4 − 2r1 (1) + r2 (1) = 0 ,       i2 (1) = r1 (1) − 2r2 (1) + r3 (1) = 2 .          Таким       образом,
жорданова форма состоит из двух жордановых клеток размера 2.
                                                  ⎡1        0     0    0⎤
                                                  ⎢1        1     0    0⎥
                                               J =⎢                     ⎥.
                                                  ⎢0        0     1    0⎥
                                                  ⎢                     ⎥
                                                  ⎣0        0     1    1⎦



 10. Минимальный многочлен матрицы


 Определение 10.1. Многочлен f (x ) ∈ k [x ] называется минимальным
многочленом матрицы A = (aij ), aij ∈ k , если
 1) f(A) =0, то есть многочлен f(x) аннулируется матрицей A,

Страницы