Линейные операторы. Корешков Н.А. - 53 стр.

                                                    ⎡1     0   0   0⎤
                                                    ⎢1     1   0   0⎥
                                               Bϕ = ⎢               ⎥.
                                                    ⎢0     0   1   0⎥
                                                    ⎢               ⎥
                                                    ⎣0     0   1   1⎦

 Кроме того, мы получили матрицу перехода T к жорданову бази-
су, которая осуществляет подобие матриц Aϕ и Bϕ , т.е. Bϕ = T −1 Aϕ T ,

                                                ⎡1       − 1 0 − 1⎤
                                                ⎢0       − 1 0 − 1⎥
                                             T =⎢                 ⎥.
                                                ⎢0       −1 1 0 ⎥
                                                ⎢                 ⎥
                                                ⎣0       −1 0 0 ⎦

 Вопрос единственности жордановой формы решается с помощью
формулы для количества жордановых клеток данного размера.
 Теорема 9.2. Пусть iκ (λ j ) - количество жордановых клеток раз-

мера κ , отвечающих собственному значению λ j матрицы A . Тогда

iκ (λ j ) = rκ −1 (λ j ) − 2rκ (λ j ) + rκ +1 (λ j ) ,   κ ≥ 1,    где   rt ( λ j )   ранг матрицы

( A − λ j E ) t , а r0 ( λ j ) = n , n - размер матрицы A .

 Доказательство. Обозначим через J жорданову нормальную
форму оператора ϕ ∈ End k (V ) , заданного в некотором базисе матри-
цей A . Пусть T матрица перехода от первоначального базиса к
жорданову. Тогда J = T −1 AT и для любого λ из k
J − λE = T −1 ( A − λE )T . Более того ( J − λE ) s = T −1 ( A − λE ) s T . Поэтому

ранги матриц ( A − λE ) s и ( J − λE ) s совпадают, т.е. формулу для iκ (λ j )

достаточно проверить для случая, когда rt (λ j ) ранг матрицы

(J − λ j E)t .