Линейные операторы. Корешков Н.А. - 51 стр.

        p                                         p

       ∑ β jϕ                                    ∑β ϕ
                     t j −1                                   t j −1                                  t j −1
т.е.                          e j ∈ U . Значит           j             e j = 0 . Но вектора ϕ                  e j , j = 1,..., p
       j =1                                       j =1


входят в базис факторпространства V (им отвечают точки нижнего
этажа диаграммы D ), следовательно, все коэффициенты β j равны

нулю, т.е. вектора ϕ t e j , j = 1,..., p линейно независимы.
                                          j




 Пусть вектора, отвечающие точкам диаграммы D, линейно зависи-
         p     tj                   s
мы:    ∑∑ λijϕ i e j + ∑ γ q eα + q = 0 . Обозначим через r номер самого верх-
        j =1 i = 0                 q =0


него этажа диаграммы D , перед векторами которого имеются нену-
левые коэффициенты. Применив к соотношению линейной зависи-
                                                              p

                                                             ∑λ
                                                                                        tj
мости оператор ϕ r −1 , получим                                        t j − r +1, j   ϕ e j = 0 , в котором по пред-
                                                             j =1


положению не все коэффициенты равны нулю. Но это противоречит
линейной независимости векторов нижнего этажа. Теорема доказа-
на.


 Пример. Найти жорданову нормальную форму оператора ϕ , в
пространстве V =< e1 , e2 , e3 , e4 > , заданного матрицей:
                                                      ⎡0               1 − 1 1⎤
                                                      ⎢− 1             2 − 1 1⎥
                                                 Aϕ = ⎢                       ⎥
                                                      ⎢− 1             1 1 0⎥
                                                      ⎢                       ⎥
                                                      ⎣− 1             1 0 1⎦

       Здесь и далее жордановой нормальной формы оператора ϕ бу-
дем называть матрицу этого оператора в жордановом базисе.
            −λ                    1    −1   1   −λ                       1    −1   1
  Aϕ − λE = − 1                 2 − λ −1    1 = −1                     2 − λ −1    1 =
            −1                    1   1− λ  0   −1                       1   1− λ  0
            −1                    1    0   1− λ  0                       0   λ −1 1− λ
  −λ           1   0    1            −λ                       1   0
= −1          2−λ  0    1 = (1 − λ ) − 1                     2−λ  0 = = (1 − λ ) 2 − λ                  1 = (λ − 1) 4
  −1           1  1− λ  0            −1                       1  1− λ              −1                  2−λ
   0           0   0   1− λ