Линейные операторы. Корешков Н.А. - 52 стр.

 Характеристические корни λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1 . Собственные вектора
находятся из системы:
                                     ⎧− x1 + x2 − x3 + x4 = 0
                                     ⎨
                                     ⎩− x1 + x2 = 0

 Пространство собственных векторов U = {(ϕ − 1)v = 0} имеет базис:
f1 = (1,1,0,0), f 2 = (0,0,1,1)

 Добавляя к векторам                    f1 , f 2       вектора         e1 = (1,0,0,0) ,   e2 = (0,1,0,0) ,

e3 = (0,0,1,0) , e4 = (0,0,0,1) , находим, что базис пространства, содержа-

щий f1 , f 2 , состоит из векторов f1 , f 2 , e1 , e3 , а e2 = f1 − e1 , e4 = f 2 − e3 .
Обозначив e1 через f 3 , а e3 через f 4 , имеем ϕf1 = f1 , ϕf 2 = f 2 ,
ϕf 3 = −e2 − e3 − e4 = − f1 − f 2 + f 3 , ϕf 4 = −e1 − e2 + e3 = − f 1 + f 4 .

 Базис факторпространства V = V U состоит из векторов f 3 , f 4 и мат-

                                                                                 ⎡1 0 ⎤
рица фактороператора ϕ в этом базисе имеет вид: ⎢   ⎥ . Т.е. f 3 , f 4 -
                                                ⎣0 1⎦
жорданов базис с диаграммой D : f 3 • • f 4 для оператора ϕ − E .
 Тогда диаграмма D для оператора ϕ − E имеет вид:
                                        f3                      f4
                                        ↓                       ↓
                                    (ϕ − E ) f 3            (ϕ − E ) f 4

 В соответствии с диаграммой D жорданова форма оператора ϕ − E
равна
                                          ⎡0       0    0     0⎤
                                          ⎢1       0    0     0⎥
                                          ⎢                    ⎥,
                                          ⎢0       0    0     0⎥
                                          ⎢                    ⎥
                                          ⎣0       0    1     0⎦

 а оператора ϕ :