Линейные операторы. Корешков Н.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

элементов:
(
)
(
)
njieefeef
ijji
,...,1,,,,
=
= . Последнее означает, что мат-
рица
(
)
ij
fF =
этой билинейной формы – симметрическая.
Пусть теперь f симметрическая билинейная форма. Положим
() ( )
Vxxxfxq
f
∈= ,, . Тогда
(
)
(
)
xqxq
ff
=
−
и
() ()()()
{}
yqxqyxqyxf
fff
−−+=
2
1
,
.
Действительно,
()()()
{}
( )()(){}
() ()()
.,,
2
1
,
2
1
,,,
2
1
2
1
yxfxyfyxf
yyfxxfyxyxfyqxqyxq
fff
=+=
=−−++=−−+
Обратно, пусть
kVq →: отображение пространства
V
в поле k та-
кое, что
1)
() ()
Vxxqxq ∈=− , и
2)
() ()()(){}
yqxqyxqyxf −−+=
2
1
,
является билинейной (очевидно
симметричной) формой. Тогда
qq
f
=
.
Положим в 2)
x
y
−= :
[]
)()()0(
2
1
),(
xqxqqxxf −−−=− .
Отсюда
)0(
2
1
),()(
qxxfxq += .
Так как
f - билинейная форма, то 0)0,0(
=
f . Поэтому при x=0 име-
ем
)0(
2
1
)0(
qq = , то есть
0)0(
=
q
. Значит
)(),()( xqxxfxq
f
=
=
.
Таким образом, по каждой симметричной билинейной форме одно-
значно определяется квадратичная форма. Если
n
ee ,...,
1
- фиксиро-
ванный базис в пространстве
V
, то
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yxfyxf
11
),( , где
),(
jiij
eeff = . Тогда
=
= ),()( xxfxq
f
∑∑
==
n
i
n
j
jiij
xxf
11
. И матрица )(
ij
fF = би-
элементов: f (ei , e j ) = f (e j , ei ), i, j = 1,..., n . Последнее означает, что мат-

рица F = ( f ij ) этой билинейной формы – симметрическая.
 Пусть теперь f симметрическая билинейная форма. Положим

q f (x ) = f (x, x ), x ∈V   . Тогда    q f (− x ) = q f (x )   и f (x, y ) = 1 {q f (x + y ) − q f (x ) − q f ( y )}.
                                                                                   2

 Действительно,
                1
                2
                   {                                }   1
                  q f ( x + y ) − q f (x ) − q f ( y ) = { f (x + y, x + y ) − f (x, x ) − f ( y, y )} =
                                                        2
                  1              1
                = f (x, y ) + f ( y, x ) = f (x, y ).
                  2              2

 Обратно, пусть q : V → k отображение пространства V в поле k та-
кое, что
 1) q(− x ) = q(x ), x ∈ V и
                       1
 2) f ( x, y ) =         {q(x + y ) − q(x ) − q( y )} является билинейной (очевидно
                       2
симметричной) формой. Тогда q f = q .

 Положим в 2) y = − x :
                                                    1
                                   − f ( x, x ) =     [q(0) − q( x ) − q( − x )] .
                                                    2
 Отсюда
                                                                        1
                                           q( x ) = f ( x , x ) +         q ( 0) .
                                                                        2
 Так как f - билинейная форма, то f (0,0) = 0 . Поэтому при x=0 име-
               1
ем q(0) = q(0) , то есть q(0) = 0 . Значит q( x ) = f ( x, x ) = q f ( x ) .
               2
 Таким образом, по каждой симметричной билинейной форме одно-
значно определяется квадратичная форма. Если e1 ,..., en - фиксиро-
                                                                                               n     n
ванный базис в пространстве V , то                                                 f ( x, y ) = ∑∑ f ij xi y j ,     где
                                                                                               i =1 j =1

                                                                n   n
f ij = f ( ei , e j ) . Тогда q f ( x ) = f ( x, x ) =     ∑∑ f
                                                            i =1 j =1
                                                                          ij   xi x j . И матрица F = ( f ij ) би-

Страницы