Составители:
Рубрика:
10
Доказательство.
Доказательство проведем методом математической индукции по числу элементов к
при фиксированном значении n.
1. При к=1 каждое размещение с повторениями состоит из одного элемента. Его
можно выбрать n способами. Таким образом,
1
n
A =n
1
.
2. Предположим, что верно равенство
1−k
n
A
=n
k-1
. Размещения с повторениями из n
элементов по k можно получить из размещений с повторениями из n элементов
по k-1 элементу добавлением любого из n элементов.
По правилу произведения получаем
k
n
A =
1−k
n
A ·n=n
k-1
·n=n
k
Применим выведенную выше формулу для решения задач.
Задача.
Для того чтобы открыть камеру хранения, используется комбинация из 4 цифр (от 0 до
9), набираемая на 4 колесиках. Сколько различных комбинаций существует?
Решение.
Из условия задачи следует, что необходимо составить всевозможные комбинации по 4
элемента из данных 10. По формуле размещений с повторением получаем:
4
10
A =10
4
=
10 000 вариантов.
Задач.
Сколько в n-ичной системе счисления натуральных чисел, записываемых ровно k
знаками?
Решение.
Если допустить записи чисел, начинающиеся с нуля, то каждое k-значное число в n-
ичной системе счисления можно рассматривать как размещение с повторениями,
составленное из k цифр, причем цифры бывают n видов. Получаем, что количество
чисел, имеющих такую запись, равно n
k
.
Но натуральные числа не могут начинаться с нуля. Поэтому из полученного значения
n
k
необходимо вычесть количество чисел, запись которых начинается с нуля. Если
отбросить от этих чисел первую цифру – ноль, то получим (k–1)-значное число (быть
может, начинающиеся с нуля). Таких чисел по формуле для вычисления количества
размещений с повторениями существует n
k-1
. Значит общее количество k-значных
чисел в n-ичной системе счисления равно n
k
– n
k-1
= n
k
(n – 1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
