Составители:
Рубрика:
11
Размещения без повторений
Как изменится решение задачи о камере хранения, если известно, что цифры,
набираемые на колесиках, различны.
Решение.
Вариантов выбора первой цифры 10 (от 0 до 9). Так как повторения быть не может,
то вариантов выбора второй цифры всего 9. Аналогично для выбора третьей цифры
остается 8 вариантов, для выбора четвертой – 7. По правилу произведения получаем,
что всего комбинаций, в которых все числа различны, 10⋅9⋅8⋅7=5 040.
Данная задача относится к классу задач о размещении без повторений.
Размещениями без повторений из n элементов по k называются всевозможные
комбинации по k элементов, составленные из элементов данных n видов. При этом две
комбинации считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы
одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном
порядке.
Количество размещений без повторений обозначают
k
n
A
. Общее правило
вычисления количества размещений:
k
n
A =n⋅(n – 1)⋅…⋅(n – k+1)=
)!(
!
kn
n
−
.
Доказательство.
Действительно, на первом шаге можно выбрать любой из n имеющихся предметов.
Если этот выбор уже сделан, то на втором шаге приходится выбирать из n – 1 предметов –
ведь повторный выбор сделать уже нельзя. Точно так же на третьем шаге для выбора
остается n – 3 предмета и т. д. Используя правило произведения, получим требуемую
формулу.
Задача.
В первенстве России по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются золотые,
серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами они могут быть распределены?
Решение.
Переформулируем задачу: Сколько существует комбинаций из 17 элементов по 3, если
важны порядок элементов в комбинации, состав элементов и в комбинацию не могут
входить элементы одного типа. (Повторения здесь быть не может – одна и та же
команда не может получить и золотую и серебреную медаль.)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
