Составители:
Рубрика:
39
f(n+2)=C
1
·f(n+1)+C
2
·f(n). (*).
Заметим, что все рассуждения сохраняются и для соотношений более высокого
порядка.
Свойства решений:
1)
Если последовательность x
n
является решением (*), то и последовательность α·x
n
тоже
является решением.
Доказательство.
x
n
является решением (*), следовательно, выполняется тождество x
n+2
=C
1
x
n+1
+C
2
x
n.
Домножим обе части равенства на α. Получим α·x
n+2
=α·(С
1
·x
n+1
+С
2
·x
n
)= С
1
·α·x
n+1
+С
2
·α·x
n
.
Это означает, что αx
n
является решением (*).
2)
Если последовательности x
n
и y
n
являются решениями (*), то и последовательность x
n
+y
n
тоже является решением.
Доказательство.
x
n
и y
n
являются решениями, следовательно, выполняются следующие тождества:
x
n+2
=C
1
x
n+1
+C
2
x
n
.
y
n+2
=C
1
y
n+1
+C
2
y
n
.
Выполним почленное сложение двух равенств:
x
n+2
+y
n+2
=С
1
·x
n+1
+С
2
·x
n
+ С
1
·y
n+1
+С
2
·y
n
= С
1
·(x
n+1
+ y
n+1
)+С
2
·(x
n
+y
n
). Это означает, что x
n
+y
n
является решением (*).
3)
Если r
1
является решением квадратного уравнения r
2
=С
1
r+С
2
, то последовательность (r
1
)
n
является решением для соотношения (*).
r
1
является решением квадратного уравнения r
2
=С
1
r+С
2
, значит, (r
1
)
2
=C
1
r
1
+C
2
.
Помножим обе части равенства на (r
1
)
n
. Получим
r
1
2
r
1
n
=(С
1
r
1
+С
2
) r
n
.
r
1
n+2
=С
1
r
1
n+1
+С
2
r
1
n
.
Это означает, что последовательность (r
1
)
n
является решением (*).
Из этих свойств вытекает
способ решения линейных рекуррентных соотношений с
постоянными коэффициентами второго порядка:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
