Составители:
Рубрика:
40
1.
Составим характеристическое (квадратное) уравнение r
2
=С
1
r+С
2
. Найдём его корни r
1,
r
2.
Если корни различны, то общее решение имеет вид f(n)= αr
1
n
+βr
2
n
.
2.
Найдём коэффициенты α и β. Пусть f(0)=a, f(1)=b. Система уравнений
α + β =а
α·r
1
+ β·r
2
=b
имеет решение при любых а и b. Этими решениями являются
α=(b-a·r
2
)/(r
1
-r
2
).
β =(a·r
1
-b)/(r
1
-r
2
).
Задача.
Найдем формулу для общего члена последовательности Фибоначчи.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид х
2
=х+1 или х
2
-х-1=0, его корнями являются
числа
2
51±
, значит, общее решение имеет вид f(n)=
nn
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
51
2
51
βα
. Как
нетрудно видеть, из начальных условий f(0)=0, f(1)=1 вытекает, что α=−β=1/√5, и,
следовательно, общее решение последовательности Фибоначчи имеет вид:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
nn
n
f
2
51
2
51
5
1
.
Что удивительно, это выражение при всех натуральных значениях n принимает целые
значения.
Случай равных корней характеристического многочлена.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня, то общее решение имеет вид:
f(n)= α·r
1
n
+ β·n·r
1
n
.
Доказательство.
В случае равных корней характеристического уравнения выражение
f(n)= α·r
1
n
+ β·r
1
n
нельзя считать общим решением, так как в формуле f(n)= α·r
1
n
+ β·r
1
n
= r
1
n
· (α+β)= δ·r
1
n
останется только одна постоянная и выбрать её так, чтобы удовлетворить двум начальным
f(0)=a, f(1)=b условиям, невозможно. Найдем второе решение отличное от r
1
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
