Составители:
Рубрика:
41
Если квадратное уравнение r
2
=С
1
r+С
2
имеет два совпадающих корня r
1
= r
2
, то по
теореме Виета С
1
=2 r
1
, а С
2
= - r
1
2
. Поэтому уравнение записывается так:
r
2
= 2· r
1
·r+–r
1
2
.
Тогда рекуррентное соотношение имеет вид:
f(n+2)= 2 r
1
f(n+1)+ - r
1
2
f(n).
Докажем, что nr
1
n
является решением данного рекуррентного соотношения.
Подставим nr
1
n
в полученное рекуррентное соотношение, получим верное
равенство: (n+2)r
1
n+2
=2r
1
(n+1)r
1
n+1
–r
1
2
nr
1
n
=2nr
1
n+2
+ 2r
1
n+2
–nr
1
n+2
=(n+2)r
1
n+2
, значит, nr
1
n
является решением данного рекуррентного соотношения.
Таким образом, имеем два решения рекуррентного соотношения: r
1
n
и nr
1
n
. Общее
решение будет иметь вид: f(n)= αr
1
n
+ βnr
1
n
.
Задача.
Для последовательности с f(1)=0 и f(2)=8, удовлетворяющей рекуррентному
соотношению f(к+2)=4f(к+1)–4f(к), выписать формулу общего члена.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид: r
2
–4r+4=0, его корни r
1
=r
2
=2. Общее решение
рекуррентного соотношения: f(к)= α·2
к
+ β·к·2
к
. Найдем коэффициенты α и β, пользуясь
тем, что f(1)=0 и f(2)=8. Решим систему уравнений:
2·α+2·β=0
4·α+8·β=8
Получим α=–2 и β=2. Формула общего члена: f(n)=–2
(n+1)
+n·2
(n+1)
.
Линейные рекуррентные соотношения, порядок которых больше 2, решаются
аналогично.
Задача.
Найдем общее решение рекуррентного соотношения:
f(n+4)=5f(n+3)–6f(n+2)–4f(n+1)+8f(n).
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид: r
4
-5r
3
+6r
2
+4r-8=0
Решая его, получаем корни: r
1
=2, r
2
=2, r
3
=2, r
4
=-1.
Значит, общее решение имеет вид: f(n)=2
n-1
(α+β·n+γ·n
2
)+δ·(–1)
n-1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
