Численные методы. Корнюшин П.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

16
Решение задачи Коши находится непосредственно из уравнения (21) по рекуррентной
формуле (20) с учетом начальных данных y
0
=
µ
1
, y
1
=
µ
2
. Решение краевых задач находится более
сложным методом – методом исключения – и будет изложено ниже.
Для уравнения с постоянными коэффициентами решение краевой задачи может быть
найдено в явном виде.
Пример. Найти решение краевой задачи
∆
2
y
i-1
=1, i=1, 2,…, N-1, y
0
=0, y
N
=0. (27)
Однородное уравнение ∆
2
y
i-1
=y
i-1
-2y
i
+y
i-1
=0 имеет общее решение iccy
i
21
_
+= . Частное
решение
*
i
y неоднородного уравнения ∆
2
y
i-1
=y
i+1
-2y
i
+y
i-1
=1 ищем в виде
*
i
y =ci
2
. Подставляя это
выражение в уравнение (27), находим ∆
2
y
*
1−i
=c((i+1)
2
-2i
2
+
+(i-1)
2
)=1, т.е. c=1/2, так что
y
i
= 2/
2
21
*
_
iiccyy
i
i
++=+ . Для определения c
1
и c
2
служат краевые условия при i=0, i=N:
y
0
=c
1
=0, y
N
=c
2
N+N
2
/2=0, c
2
=-N/2. Таким образом, y
i
=-iN/2+i
2
/2=-i(N-i)/2 есть решение задачи (27).
1.1.3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка
1.1.3.1. Решение разностных краевых задач методом прогонки
Краевая задача
a
i
y
i-1
-c
i
y
i
+b
i
y
i+1
=-f
i
, a
i
≠
0, b
i
≠
0, i=1, 2,…, N-1, y
0
=λ
1
y
1
+µ
1
, y
N
=λ
2
y
N-1
+µ
2
(1)
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
размера
.
10...000...000
...000...000
.................................
000......000
.................................
000...000...
000...000...01
2
111
111
1
λ
λ
−
−
−
−
−
=
−−− NNN
iii
bca
bca
bca
A
Вместо (1) можно написать
Ay=f, y=(y
0
, y
1
,…, y
N
), f=(µ
1
, -f
1
,…, -f
N-1
, µ
2
). (2)
В случае первой краевой задачи соответствующая матрица имеет размер
(N-1)*(N-1).
Для решения краевой задачи (1) можно использовать следующий метод исключения,
называемый методом прогонки. Предположим, что имеет место соотношение
y
i
=α
i+1
y
i+1
+β
i+1
(3)
с неопределенными коэффициентами α
i+1
и β
i+1
, и подставим y
i-1
=α
i
y
i
+β
i
в (1):
(a
i
α
i
-c
i
)y
i
+b
i
y
i+1
=-(f
i
+α
i
β
i
).
Сравнивая это тождество с (3), находим
,1,...,2,1,
1
−=
−
=
+
Ni
ac
b
a
iii
i
i
α
(4)
.1,...2,1,
1
−=
−
+
=
+
Ni
ac
f
iii
iii
i
α
β
α
β
(5)
Используем краевое условие при i=0 для определения α
1
, β
1
. Из формул (1) и (3) для i=0
находим
α
1
=λ
1
, β
1
=µ
1
. (6)
Зная α
1
и β
1
и переходя от i к i+1 в формулах (4) и (5), определим α
i
и β
i
для всех i=2, 3,…,
N. Вычисления по формуле (3) ведутся путем перехода от i+1 к i (т.е. зная y
i+1
, находим y
i
), и для 
                                                         16


       Решение задачи Коши находится непосредственно из уравнения (21) по рекуррентной
формуле (20) с учетом начальных данных y0=µ1, y1=µ2. Решение краевых задач находится более
сложным методом – методом исключения – и будет изложено ниже.
       Для уравнения с постоянными коэффициентами решение краевой задачи может быть
найдено в явном виде.
       Пример. Найти решение краевой задачи
                         ∆2yi-1=1, i=1, 2,…, N-1, y0=0, yN=0. (27)
                                                                                              _
       Однородное уравнение ∆2yi-1=yi-1-2yi+yi-1=0 имеет общее решение y i = c1 + c2 i . Частное
решение yi* неоднородного уравнения ∆2yi-1=yi+1-2yi+yi-1=1 ищем в виде yi* =ci2. Подставляя это
выражение в уравнение (27), находим ∆2y *i −1 =c((i+1)2-2i2+ +(i-1)2)=1, т.е. c=1/2, так что
   _
yi= y i + yi* = c1 + c2 i + i 2 / 2 . Для определения c1 и c2 служат краевые условия при i=0, i=N:
y0=c1=0, yN=c2N+N2/2=0, c2=-N/2. Таким образом, yi=-iN/2+i2/2=-i(N-i)/2 есть решение задачи (27).



         1.1.3. Решение разностных краевых задач для уравнений второго порядка

               1.1.3.1. Решение разностных краевых задач методом прогонки

       Краевая задача
           aiyi-1-ciyi+biyi+1=-fi, ai ≠ 0, bi ≠ 0, i=1, 2,…, N-1, y0=λ1y1+µ1, yN=λ2yN-1+µ2 (1)
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
размера
                      1     − λ1      0 ...      0      0      0    ...     0        0        0
                      a1    − c1      b1 ...     0      0      0    ...     0        0        0
                      ...    ...      ... ... ...       ...    ... ...      ...     ...       ...
                 A= 0        0         0   ... ai      − ci    bi   ...     0        0        0 .
                      ...    ...      ... ... ...       ...    ... ...      ...     ...       ...
                      0      0         0   ...   0      0      0    ... a N −1    − c N −1   bN −1
                      0      0         0   ...   0      0      0    ...     0      − λ2       1
       Вместо (1) можно написать
                    Ay=f, y=(y0, y1,…, yN), f=(µ1, -f1,…, -fN-1, µ2).     (2)
       В случае первой краевой задачи соответствующая матрица имеет размер
                                             (N-1)*(N-1).
       Для решения краевой задачи (1) можно использовать следующий метод исключения,
называемый методом прогонки. Предположим, что имеет место соотношение
                         yi=αi+1yi+1+βi+1                             (3)
       с неопределенными коэффициентами αi+1 и βi+1, и подставим yi-1=αiyi+βi в (1):
                                    (aiαi-ci)yi+biyi+1=-(fi+αiβi).
       Сравнивая это тождество с (3), находим
                                           bi
                            ai +1 =                , i = 1,2,..., N − 1,           (4)
                                      c i − a iα i
                                      α β + fi
                            β i +1   = i i            , i = 1,2,...N − 1.          (5)
                                       c i − a iα i
      Используем краевое условие при i=0 для определения α1, β1. Из формул (1) и (3) для i=0
находим
                          α1=λ1, β1=µ1.                             (6)
      Зная α1 и β1 и переходя от i к i+1 в формулах (4) и (5), определим αi и βi для всех i=2, 3,…,
N. Вычисления по формуле (3) ведутся путем перехода от i+1 к i (т.е. зная yi+1, находим yi), и для

Страницы