Численные методы. Корнюшин П.Н. - 15 стр.

                                                              15


        3. Найти общее решение уравнения
                                yk+1-yk-6yk-1=2k+1.                        (18)
        Общее решение неоднородного уравнения есть сумма y k = y k + y k* общего решения y k
однородного уравнения и частного решения y k* неоднородного уравнения. Найдем сначала общее
решение однородного уравнения. Дискриминант равен D=1+24=25>0, и корни квадратного
уравнения q2-q-6=0 равны q1=3, q2=-2, так что y k(1) = 3 k , y k( 2 ) = (−2) k . Частное решение y k* будем
искать в виде y k* = c 2 k , где c=const. Подставляя y k* = c 2 k в (18), получим c(2k+1-2k-6*2k-1)=c2k-1(-
4)=2k+1, c=-1. Общее решение уравнения (18) имеет вид yk=c13k+c2(-2)k-2k.


1.1.2.6. Разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Задача
                                Коши и краевая задача

        Рассмотрим теперь разностное уравнение с переменными коэффициентами
                          biyi+1-ciyi+aiyi-1=fi, ai ≠ 0, bi ≠ 0, i=0, 1, 2,… (19)
        Так как bi ≠ 0, то из (19) получаем следующее рекуррентное соотношение
                                      ci y i − ai y i −1 + f i
                           y i +1 =                            , bi ≠ 0.             (20)
                                                bi
        Выразим yi+1 и yi-1 через yi и разности первого и второго порядков. Тогда уравнение (19)
перепишется в виде
                              ∆∇ yi+(bi-ai)∆yi-(ci-ai-bi)yi=fi, ai ≠ 0, bi ≠ 0.
        Решение разностного уравнения первого порядка зависит от произвольной постоянной и
определяется однозначно, если задано одно дополнительное условие, например, y0=c0. Решение
уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными и может быть
найдено, если заданы два дополнительных условия. Если оба условия заданы в двух соседних
точках, то это задача Коши. Если же два условия заданы в двух разных (но не соседних) точках, то
получаем краевую задачу. Для нас основной интерес будут представлять краевые задачи. Введем
обозначение Lyi=biyi+1-ciyi+aiyi-1 и сформулируем эти задачи более подробно.

       Задача Коши: найти решение уравнения
                           Lyi=fi, i=1, 2,…                                   (21)
при дополнительных условиях
                           y0=µ1, y1=µ2.                                      (22)
        Второе условие (22) можно записать иначе: ∆y0=y1-y0=µ2-µ1= µ 1 и говорить, что в случае
задачи Коши заданы в одной точке i=0 величины y0=µ1, ∆y0= µ 1 .

        Краевая задача: найти решение уравнения Lyi=fi, i=1, 2,…N-1 при дополнительных
условиях
                              y0=µ1, yN=µ2, N ≥ 2.                  (23)
        В граничных узлах i=0 и i=N можно задать не только значения функций, но и комбинации
их с разностями, т.е. выражения α 1 ∆y 0 + β 1 y 0 при i=0 и α 2 ∇y N + β 2 y N при i=N. Такие условия
можно записать в виде
                            y0=λ1y1+µ1, yN=λ2yN-1+µ2.                 (24)
        Если λ1=λ2=0, то отсюда получаем условия первого рода; при λ1=λ2=1 имеем условия
второго рода
                           ∆y0=-µ1, ∇y N = µ 2 .                      (25)
        Если λ1,2 ≠ 0,1 , то (24) называют условиями третьего рода:
                    − λ1 ∆y 0 + (1 − λ1 ) y 0 = µ 1 , λ 2 ∇y N + (1 − λ 2 ) y N = µ 2 .
                                                                    (26)
       Кроме того, возможны краевые задачи с комбинацией этих краевых условий: при i=0 –
условия одного типа, при i=N – условия другого типа.