Численные методы. Корнюшин П.Н. - 17 стр.

                                                                17


начала этих вычислений надо задать yN. Определим yN из краевого условия yN=λ2yN-1+µ2 и условия
(3) при i=N-1: yN-1=αNyN+βN. Отсюда находим
                                           µ 2 + λ2 β N
                                  yN =                  .                                (7)
                                            1 − α N λ2
        Соберем все формулы прогонки и запишем их в порядке применения
                                  →             bi
                                  α i +1 =               , i = 1,2,..., N − 1,α 1 = λ1 ; (8)
                                            ci − aiα i
                                  →         a β + fi
                                  β i +1   = i i           , i = 1,2,..., N − 1, β1=µ1; (9)
                                            c i − a iα i
                        µ 2 + λ2 β N ←
                 yN =               , y i = α i +1 y i +1 + β i +1 , i = N − 1, N − 2,...,2,1,0. (10)
                         1 − α N λ2
      Стрелки показывают направление счета: (→) от i к i+1, (←) - от i+1 к i.
      Таким образом, краевая задача для уравнения второго порядка сведена к трем задачам
Коши для уравнений первого порядка.


                                   1.1.3.2. Устойчивость метода прогонки

       Формулы прогонки можно применять, если знаменатели дробей (8) и (10) не обращаются в
нуль. Достаточными условиями этого являются неравенства
                                  c i ≥ a i + bi , i = 1,2,..., N − 1,
                                                                                       (11)
                                   λ1 ≤ 1, λ 2 ≤ 1, λ1 + λ 2 < 2,
причем одно из первых двух неравенств второй строки должно быть строгим. Покажем, что при
условиях (11) знаменатели ci-aiαi и 1-αNλ2 не обращаются в нуль и
                         α i ≤ 1, i = 1,2,..., N .                (12)
        Предположим, что α i ≤ 1 и покажем, что α i +1 ≤ 1 ; тогда отсюда и из условия
α i = λ1 ≤ 1        будет   следовать           (12).   Рассмотрим        разность      c i − a i α i − bi .   Поскольку
c i − a iα i − bi ≥ c i − a i α i − bi ≥ a i (1 − α i ≥ 0 ,                  то           c i − a iα i ≥ bi > 0       и
α i +1 = bi / c i − a iα i ≤ 1.
        Заметим, что если c i0 > a i0 + bi0 хотя бы в одной точке i=i0, то α i < 1 для всех i>i0 и в
том числе для i=N: α N < 1 . Тогда 1 − α N λ 2 ≥ 1 − α N λ 2 ≥ 1 − α N > 0 , и условие λ1 + λ 2 < 2
является лишним. Если λ1 < 1 , то α N < 1 . Если же λ1 = 1 , то λ 2 < 1 и α N ≤ 1 , и мы имеем
1 − α N λ 2 ≥ 1 − α N λ 2 ≥ 1 − λ 2 > 0 . Таким образом, при выполнении условий (11) задача (1)
имеет единственное решение, которое мы находим по формулам прогонки (8) – (10).
       Вычисления по формулам (8) – (10) ведутся на компьютере приближенно, с конечным
числом значащих цифр. В результате погрешностей округления фактически находится не функция
                                       ~
yi – решение задачи (1), а y i – решение той же задачи с возмущенными коэффициентами
~   ~   ~   ~   ~                                  ~    ~   ~
a i , b i , c i , λ 1 , λ 2 и правыми частями f i , µ 1 , µ 2 . Возникает естественный вопрос: не происходит
ли в ходе вычислений возрастание погрешности округления, что может привести как к потере
точности, так и к невозможности продолжать вычисления из-за роста определяемых величин?
Примером может служить нахождение yi по формуле yi+1=qyi при q>1. Поскольку yn=qny0, для
любого y0 можно указать такое n0, при котором y n0 будет машинной бесконечностью. Фактически
                                                                                                        ~
в силу погрешностей округления определяется не точное значение yi, а значение y i из уравнения