ВУЗ:
Составители:
13
Рассмотрим разностное уравнение второго порядка
by
i+1
-cy
i
+ay
i-1
=f
i
, i=0, 1,…; a
≠
0, b
≠
0, (11)
коэффициенты которого не зависят от i. Если f
i
=0, то уравнение
by
i+1
-cy
i
+ay
i-1
=0, i=0, 1,…, (12)
называется однородным. Его решение может быть найдено в явном виде.
Пусть
y
i
– решение однородного уравнения (12),
*
i
y – какое-либо решение неоднородного
уравнения (11). Тогда их сумма y
i
= y
i
+
*
i
y также является решением неоднородного уравнения:
b(
y
i+1
+
*
1
+i
y )-c( y
i
+
*
i
y )+a( y
i-1
+
*
1
−i
y )=[b y
i+1
-c y
i
+a y
i-1
]+[b
*
1
+i
y -c
*
i
y +a
*
1
−i
y ]=f
i
.
Это свойство – следствие линейности уравнения (11); оно сохраняет силу для разностного
уравнения (1) любого порядка. Очевидно, что если
y
i
является решением однородного уравнения
(12), то и c
y
i
, где с – произвольная постоянная, также удовлетворяет этому уравнению.
Пусть
)1(
i
y и
)2(
i
y – два решения уравнения (12). Они называются линейно независимыми,
если равенство
c
1
)1(
i
y +c
2
)2(
i
y =0, i=0, 1, 2,…,
возможно только при с
1
=с
2
=0. Это эквивалентно требованию, что определитель системы
=+
=+
++
,0
,0
)2(
2
)1(
1
)2(
2
)1(
1
mimi
ii
ycyc
ycyc
m=
,...,2,1
±
±
отличен от нуля для всех i, m. В частности,
.0
)2(
1
)1(
1
)2()1(
1,
≠=∆
++
+
ii
ii
ii
yy
yy
Так же, как и в теории дифференциальных уравнений, можно ввести понятие общего
решения разностного уравнения (12) и показать, что если решения
)1(
i
y ,
)2(
i
y линейно независимы,
то общее решение уравнения (12) имеет вид
y
i
=
)2(
2
)1(
1 ii
ycyc + ,
где c
1
и c
2
– произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения (11)
можно представить в виде
y
i
= ,
*)2(
2
)1(
1 iii
yycyc ++ (13)
где y
*
i
– какое-либо (частное) решение уравнения (11). Для определения c
1
и c
2
, как и в
случае дифференциальных уравнений, надо задать дополнительные условия – начальные или
краевые.
Общее решение уравнения (12) можно найти явно. Будем искать линейно независимые
решения уравнения (12) в виде y
i
=q
i
, где q
≠
0 – неизвестное пока число. После подстановки y
k
=q
k
в (12) получим квадратное уравнение bq
2
–cq+a=0, имеющее корни
q
1
= ,
2
4
2
b
abcc −+
q
2
= .
2
4
2
b
abcc −−
(14)
В зависимости от значений дискриминанта D=c
2
–4ab возможны три случая.
1) D=c
2
–4ab>0. Корни q
1
и q
2
действительны и различны. Им соответствуют два решения
k
k
k
k
qyqy
2
)2(
1
)1(
, ==
, которые линейно независимы, т.к. отличен от нуля определитель
.0)(
1221
1
22
1
1
1,
≠−==∆
+
+
+
qqqq
qq
qq
kk
kk
kk
i
kk
Заметим, что q
1
≠ 0 и q
2
≠ 0 , иначе a=0, и уравнение (12) не является разностным
уравнением второго порядка. Общее решение уравнения (12) имеет вид
y
k
= .
2211
kk
qcqc + (15)
2) D=c
2
–4ab<0. Квадратное уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
13
Рассмотрим разностное уравнение второго порядка
byi+1-cyi+ayi-1=fi, i=0, 1,…; a ≠ 0, b ≠ 0, (11)
коэффициенты которого не зависят от i. Если fi =0, то уравнение
byi+1-cyi+ayi-1=0, i=0, 1,…, (12)
называется однородным. Его решение может быть найдено в явном виде.
Пусть y i – решение однородного уравнения (12), y i* – какое-либо решение неоднородного
уравнения (11). Тогда их сумма yi= y i+ y i* также является решением неоднородного уравнения:
b( y i+1+ y i*+1 )-c( y i+ y i* )+a( y i-1+ y i*−1 )=[b y i+1-c y i+a y i-1]+[b y i*+1 -c y i* +a y i*−1 ]=fi.
Это свойство – следствие линейности уравнения (11); оно сохраняет силу для разностного
уравнения (1) любого порядка. Очевидно, что если y i является решением однородного уравнения
(12), то и c y i, где с – произвольная постоянная, также удовлетворяет этому уравнению.
Пусть y i(1) и y i( 2 ) – два решения уравнения (12). Они называются линейно независимыми,
если равенство
c1 y i(1) +c2 y i( 2 ) =0, i=0, 1, 2,…,
возможно только при с1=с2=0. Это эквивалентно требованию, что определитель системы
c1 yi(1) + c2 yi( 2) = 0,
(1) m= ± 1,±2,...,
c1 yi + m + c2 yi(+2m) = 0,
отличен от нуля для всех i, m. В частности,
y i(1) y i( 2)
∆ i ,i +1 = (1) ≠ 0.
y i +1 y i(+21)
Так же, как и в теории дифференциальных уравнений, можно ввести понятие общего
решения разностного уравнения (12) и показать, что если решения y i(1) , y i( 2 ) линейно независимы,
то общее решение уравнения (12) имеет вид
yi= c1 y i(1) + c 2 y i( 2 ) ,
где c1 и c2 – произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения (11)
можно представить в виде
yi= c1 y i(1) + c 2 y i( 2 ) + y i* , (13)
где y *i – какое-либо (частное) решение уравнения (11). Для определения c1 и c2, как и в
случае дифференциальных уравнений, надо задать дополнительные условия – начальные или
краевые.
Общее решение уравнения (12) можно найти явно. Будем искать линейно независимые
решения уравнения (12) в виде yi=qi, где q ≠ 0 – неизвестное пока число. После подстановки yk=qk
в (12) получим квадратное уравнение bq2–cq+a=0, имеющее корни
c + c 2 − 4ab c − c 2 − 4ab
q1= , q2= . (14)
2b 2b
В зависимости от значений дискриминанта D=c2–4ab возможны три случая.
1) D=c2–4ab>0. Корни q1 и q2 действительны и различны. Им соответствуют два решения
y k(1) = q1k , y k( 2) = q 2k , которые линейно независимы, т.к. отличен от нуля определитель
qik q1k +1
∆ k ,k +1 = k +1
= q1k q 2k (q 2 − q1 ) ≠ 0.
q 2k q2
Заметим, что q1 ≠ 0 и q2 ≠ 0 , иначе a=0, и уравнение (12) не является разностным
уравнением второго порядка. Общее решение уравнения (12) имеет вид
yk= c1 q1k + c 2 q 2k . (15)
2
2) D=c –4ab<0. Квадратное уравнение имеет комплексно-сопряженные корни
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
