ВУЗ:
Составители:
11
∑∑
−
=
−
=
−
−+∇−=∆
1
1
1
1
101
.
N
i
N
i
NNiiii
vyvyyvvy (4)
Для вывода формулы (3) воспользуемся формулой (1). Поскольку ∆y
i
= ∇ y
i+1
, из формулы
(1) следует
y
i
∆v
i
=∆(y
i
v
i
)-v
i+1
∆y
i
=∆(y
i
v
i
)-v
i+1
∇
y
i+1
,
отсюда получаем
∑∑
−
==
=∇+∆
1
01
N
i
N
i
iiii
yvvy
∑∑∑
−
==
+
−
=
+
=∇+∇−∆
1
01
1
1
0
1
)(
N
i
N
i
iii
N
i
iii
yvyvvy
∑∑
==
−=∇+∇−−=
N
i
N
N
i
iiiiNN
yvyvyvyvvyvy
1
0
1
00
.)()(
Если y
0
=0, y
N
=0, то
∑∑
−
==
∇−=∆
1
01
.
N
i
N
i
iiii
yvvy
Формулу суммирования по частям можно использовать для вычисления сумм.
Пример 1
. Вычислить сумму S
N
=
∑
=
N
i
i
i
1
.2 Положим v
i
=i,
∇
y
i
=2
i
, так что
y
i
=y
i-1
+2
i
=y
0
+
∑
=
i
j
i
1
2 =y
0
+2
i+1
-2.
Выберем y
0
=2-2
N+1
; тогда y
N
=0. Так как v
0
=0,
∆
v
i
=1, то из (3) следует
∑∑ ∑∑
−
=
−
=
−
=
+++
=
−−=−−=−=∆−=∇=
1
0
1
0
1
0
111
0
1
),22(22)2(
N
i
N
i
N
i
NNi
iii
N
i
iiN
NyNyvyyvS
так что S
N
=(N-1)2
N+1
+2.
Пример 2
. Вычислить S
N
=
∑
∑
=
−
=
+=−
N
i
N
i
iiii
1
1
1
)1()1( . Положим y
i
=i, ∇ v
i
=i+1. Тогда
v
i+1
=v
i
+(i+1)=v
1
+(2+3+…+(i+1))=(v
1
-1)+(i+1)(i+2)/2, v
i
=v
1
-1+i(i+1)/2. Выберем v
1
из условия
v
N
=0, т.е. v
1
=1-N(N+1)/2. Применяя формулу (3) и учитывая, что y
0
=0, v
N
=0, ∇ y
i
=1, находим
S
N
=
∑∑ ∑ ∑ ∑
−
=
−
==
−
=
−
=
=+−−−−=−=∇−=∆=+
1
1
1
01
1
1
1
1
1
)2(
2
1
)1)(1()1(
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
iiiii
iivNvyvvyii
,
2
)1()1(
2
1
+−
+−=
NNN
S
N
так что S
N
=(N-1)N(N+1)/3. Отсюда следует, что
∑∑
==
++
=+=+++=
N
i
N
i
N
NNN
iSNi
11
2222
.
6
)12)(1(
...21
1.1.2. Разностные уравнения
1.1.2.1. Разностные уравнения
Линейное уравнение относительно сеточной функции y
i
=y(i) (i=0, 1, 2,…)
a
0
(i)y(i)+a
1
(i)y(i+1)+…+a
m
(i)y(i+m)=f(i), (1)
где a
k
(i) (k=0, 1, …, m), f(i) – заданные сеточные функции, a
0
(i)
≠
0, a
m
(i) ≠ 0, называется
линейным разностным уравнением m-го порядка. Оно содержит m+1 значение функций y(i).
Пользуясь формулами для разностей ∆y
i
, ∆
2
y
i
,…, ∆
m-1
y
i
, можно выразить значения y
i+1
,
y
i+2
,…, y
m+1
через y
i
и указанные разности: y
i+1
=y
i
+∆y
i
, y
i+2
=∆
2
y
i
+2y
i+1
-y
i
=∆
2
y
i
+2∆y
i
+y
i
и т.д. В
результате из (1) получим новую запись разностного уравнения m-го порядка:
0
a (i)y
i
+
1
a
(i)∆y
i
+…+
m
a (i)∆
m
y
i
=f(i), i=0,
,...2,1
±
±
(2)
11
N −1 N −1
∑ yi ∆vi = −∑ vi∇yi + yN −1vN − y0v1.
i =1 i =1
(4)
Для вывода формулы (3) воспользуемся формулой (1). Поскольку ∆yi= ∇ yi+1, из формулы
(1) следует
yi∆vi=∆(yivi)-vi+1∆yi=∆(yivi)-vi+1 ∇ yi+1,
отсюда получаем
N −1 N N −1 N −1 N
∑ y i ∆vi + ∑ vi ∇y i =
i =0 i =1
∑ ∆( y i vi ) − ∑ vi +1∇y i +1 + ∑ vi ∇y i =
i =0 i =0 i =1
N N
= y N v N − y 0 v 0 − ∑ v i ∇y i + ∑ v i ∇y i = ( yv) N − ( yv) 0 .
i =1 i =1
N −1 N
Если y0=0, yN=0, то ∑ y ∆v
i =0
i i = − ∑ v i ∇y i .
i =1
Формулу суммирования по частям можно использовать для вычисления сумм.
∑
N
Пример 1. Вычислить сумму SN= i =1
i 2 i . Положим vi=i, ∇ yi=2i, так что
i
yi=yi-1+2i=y0+ ∑2
j =1
i
=y0+2i+1-2.
Выберем y0=2-2 N+1
; тогда yN=0. Так как v0=0, ∆ vi=1, то из (3) следует
N N −1 N −1 N −1
S N = ∑ v i ∇y i = − ∑ y i ∆v i = − ∑ y i = N ( y 0 − 2) − ∑ 2 i +1 = N 2 N +1 − (2 N +1 − 2),
i =1 i =0 i =0 i =0
N+1
так что SN=(N-1)2 +2.
∑ i (i − 1) = ∑i =1 i (i + 1) . Положим yi=i, ∇ vi=i+1. Тогда
N N −1
Пример 2. Вычислить SN= i =1
vi+1=vi+(i+1)=v1+(2+3+…+(i+1))=(v1-1)+(i+1)(i+2)/2, vi=v1-1+i(i+1)/2. Выберем v1 из условия
vN=0, т.е. v1=1-N(N+1)/2. Применяя формулу (3) и учитывая, что y0=0, vN=0, ∇ yi=1, находим
N −1 N −1 N −1
N
1 N −1
SN= ∑ i(i + 1) = ∑ y ∆v
i =1 i =0
i i = −∑ v i ∇y i = −∑ v i = −( N − 1)(v1 − 1) −
i =1 i =1
∑ i(i + 2) =
2 i =1
1 ( N − 1) N ( N + 1)
=− SN + ,
2 2
так что SN=(N-1)N(N+1)/3. Отсюда следует, что
N N
N ( N + 1)(2 N + 1)
∑ i 2 = 12 + 2 2 + ... + N 2 = S N + ∑ i =
i =1 i =1 6
.
1.1.2. Разностные уравнения
1.1.2.1. Разностные уравнения
Линейное уравнение относительно сеточной функции yi=y(i) (i=0, 1, 2,…)
a0(i)y(i)+a1(i)y(i+1)+…+am(i)y(i+m)=f(i), (1)
где ak(i) (k=0, 1, …, m), f(i) – заданные сеточные функции, a0(i) ≠ 0, am(i) ≠ 0, называется
линейным разностным уравнением m-го порядка. Оно содержит m+1 значение функций y(i).
Пользуясь формулами для разностей ∆yi, ∆2yi,…, ∆m-1yi, можно выразить значения yi+1,
yi+2,…, ym+1 через yi и указанные разности: yi+1=yi+∆yi, yi+2=∆2yi+2yi+1-yi=∆2yi+2∆yi+yi и т.д. В
результате из (1) получим новую запись разностного уравнения m-го порядка:
a 0 (i)yi+ a1 (i)∆yi+…+ a m (i)∆myi=f(i), i=0, ± 1,±2,... (2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
