Численные методы. Корнюшин П.Н. - 9 стр.

                                                       9


_
ω без узлов x0 и xN будем обозначать ω. Если расстояние hi=xi-xi-1 между соседними узлами
постоянно (не зависит от i), hi=h для всех i=1, 2,…, N, то сетку ω называют равномерной (с шагом
h), в противном случае – неравномерной. Вместо функции f(x), определенной для всех x ∈ [a,b],
будем рассматривать сеточную функцию yi=f(xi) целочисленного аргумента i (i=0, 1,…, N) или
                _
узла xi сетки ω , а H={f(x), x ∈ [a,b]} заменим конечномерным (размерности N+1) пространством
HN+1={yi, 0≤i≤N} сеточных функций. Очевидно, что сеточную функцию yi=f(xi) можно
рассматривать как вектор y=(y0, y1,…, yN).
        Можно провести также дискретизацию и пространства функций f(x) многих переменных,
когда x=(x1, x2,…, xp) – точка р-мерного евклидового пространства (р>1). Так, на плоскости (x1, x2)
можно ввести сетку ω={xi=(i1h1, i2h2), i1, i2 =0, ± 1,±2,...} как множество точек (узлов) пересечения
перпендикулярных прямых x1 1 = i1 h1 , x 2 2 = i 2 h2 , h1 > 0, h2 > 0, i1 , i 2 = 0,±1,±2,... , где h1 и h2 –
                                   (i )         (i )

шаги сетки по направлениям x1 и x2 соответственно. Сетка ω, очевидно, равномерна по каждому из
переменных в отдельности. Вместо функции f(x)=f(x1, x2) будем рассматривать сеточную функцию
                                            _
y i1i2 = f (i1 h1 , i 2 h2 ) . Если сетка   ω   содержит    только    те   узлы,   которые     принадлежат
прямоугольнику (0≤x1≤l1, 0≤x2≤l2), так что h1=l1/N1, h2=l2/N2, то сетка имеет конечное число
N=(N1+1)(N2+1) узлов, а пространство HN сеточных функций yi= y i1i2 является конечномерным.
       Мы всюду рассматриваем только конечномерное пространство сеточных функций.
Заменяя пространство H={f(x)} функций непрерывного аргумента и исходную задачу
пространством H сеточных функций и дискретной аппроксимацией исходной задачи, мы должны
быть уверены, что будем лучше приближаться к решению исходной задачи при увеличении числа
узлов. Оценка качества приближения и выбор способа аппроксимации – главная задача теории
численных методов.
       Основное содержание курса в той или иной степени связано с применением разностных
методов для решения дифференциальных уравнений. Выделим два главных вопроса:
1) получение дискретной (разностной) аппроксимации дифференциальных уравнений и
    исследование получающихся при этом разностных уравнений;
2) решение разностных уравнений.
       При получении дискретной аппроксимации (разностные схемы) важную роль играет общее
требование, чтобы разностная схема как можно лучше приближала (моделировала) основные
свойства исходного дифференциального уравнения. Такие разностные схемы можно получать,
например, при помощи вариационных принципов и интегральных соотношений. Оценка точности
разностной схемы сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости схемы.
Изучение устойчивости – центральный вопрос теории численных методов и ему уделяется
большое внимание в данном курсе. Алгоритмы для сложных задач можно представить как
последовательность (цепочку) простых алгоритмов (модулей). Поэтому многие принципиальные
вопросы теории числовых методов можно выяснить на простых алгоритмах.
       В первой главе рассматриваются одномерные (зависящие от одного целочисленного
аргумента) разностные уравнения.
       Вторая глава посвящена численному решению алгебраических и трансцендентных
уравнений.
       В третьей главе излагаются основы теории интерполирования.
       Четвертая глава содержит основные методы численного интегрирования.
       В пятой главе рассматривается численное решение систем линейных алгебраических
уравнений.
       Шестая глава дает основные сведения классификации, постановки и решения задач
линейного программирования.