Численные методы. Корнюшин П.Н. - 8 стр.

                                                                               8


случае задача поставлена корректно (задача корректна). Это значит, что 1) задача разрешима при
любых допустимых входных данных; 2) имеется единственное решение; 3) решение задачи
непрерывно зависит от входных данных (малому изменению входных данных соответствует малое
изменение решения) – иными словами, задача устойчива. Во втором случае задача поставлена
некорректно (задача некорректна). Такой вариант возникает, если, например, решение задачи
неустойчиво относительно входных данных (малому изменению входных данных может
соответствовать большое изменение решения).
       Примером корректной задачи может служить задача интегрирования, а примером
некорректной задачи – задача дифференцирования.
                                                                                                                                              1
          Пример 4. Задача интегрирования. Дана функция f(x); найти интеграл J=                                                               ∫
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                      f ( x)dx .
                       ~                             ~          1~                                      ~              1                          ~
Заменим f на f и рассмотрим J =                            ∫ 0
                                                                 f ( x)dx и разность δJ= J − J = ∫ δfdx , где δf= f (x)-f(x).
                                                                                                                       0

Ясно, что δJ ≤ max δf ( x ) , δJ ≤ ε , если δf ≤ ε , т.е. J непрерывно зависит от f. Для вычисления
                           0 ≤ x ≤1
интеграла J воспользуемся квадратурной формулой:
                                                         N                            N
                                                 JN=     ∑ c k f ( x k ), ck>0,
                                                         k =1
                                                                                     ∑c
                                                                                      k =1
                                                                                             k   = 1.

          Повторяя рассуждения, приведенные выше, получим
                       ~                N        ~                     N                         N
               δJN= J N − J N =        ∑c
                                        k =1
                                               k ( f k − f k ) = ∑ c k δf k , δJ N ≤ ∑ c k max δf k = max δf k .
                                                                       k =1                      k =1
                                                                                                            1≤ k ≤ N           1≤ k ≤ N

          Таким образом, задача вычисления интеграла по квадратурной формуле корректна.
          Пример 5. Задача дифференцирования. Задача дифференцирования функции u(x), заданной
                                                                                             ~                     1
приближенно, является некорректной. В самом деле, пусть u (x)=u(x)+                                                  sinN2x, где N достаточно
                                                                                                                   N
велико.        Тогда             в    метрике        С           (на          некотором      отрезке              0≤x≤δ         (δ>π/N2))               имеем
           ~                                                                                                               ~
δu c = u − u = 1 / N ≤ ε при N≥1/ε. Для погрешности производных δu'= u '-u'=NcosN2x имеем
                   c

δu ' c =N≥1/ε. Таким образом, малому изменению O(ε) в С функции u(x) соответствует большое
изменение O(1/ε) в С ее производной. Поэтому численное дифференцирование некорректно.
Чтобы найти приближенное значение производной по формуле разностной производной с
некоторой точностью ε>0 при условии, что функция задана с погрешностью δi ( δ i ≤ δ 0 ),
необходимо выполнение условий согласования ε, δ0 и шага h сетки, например, вида ε≥k δ 0
(k=const>0 не зависит от h, δ0, причем шаг сетки ограничен как снизу, так и сверху. Таким
образом, достижимая точность численного дифференцирования лимитируется точностью задания
самой функции.
       В данном курсе рассматриваются только корректные задачи и численные методы,
ориентированные на использование компьютеров.
       Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного
решения u (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение y другой задачи,
близкое в некотором смысле к искомому. Как уже указывалось, основная идея всех методов –
дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более
удобной для решения на компьютере, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от
некоторых параметров, управляя которыми можно определить решение с требуемой точностью.
Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса
квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного
пространства. Остановимся на этом подробнее.
       Рассмотрим, например, дискретизацию пространства H={f(x)} функций f(x) непрерывного
                                                                                                                                  _
аргумента x ∈ [a,b]. На отрезке a ≤ x ≤ b введем конечное множество точек ω ={xi, i=0,1,…,N,
                                                                                                                                          _
x0=a, xN=b, xi