Численные методы. Корнюшин П.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

10
1.1. Разностные уравнения
В этой главе изучаются сеточные функции целочисленного аргумента и разностные
уравнения второго порядка. Излагается простейший математический аппарат для изучения
сеточных функций и разностных операторов. Для решения разностных уравнений второго порядка
применяется метод исключения, называемый методом прогонки.
1.1.1. Сеточные функции
1.1.1.1. Сеточные функции и действия над ними
Как уже упоминалось, в приближенных методах обычно функции непрерывного аргумента
заменяются функциями дискретного аргумента – сеточными функциями. Сеточную функцию
можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента:
y(i)=y
i
, i=0,
±
1,
±
2,….
Для y(i) можно ввести операции, являющиеся дискретным (разностным) аналогом
операций дифференцирования и интегрирования.
Аналогом первой производной являются разности первого порядка:
∆y
i
=y
i+1
-y
i
– правая разность;
∇ y
i
=y
i
-y
i-1
– левая разность;
δy
i
=
2
1
(∆y
i
+
∇
y
i
)=
2
1
(y
i+1
-y
i-1
) – центральная разность;
следует заметить, что ∆y
i
= ∇ y
i+1
.
Далее можно определить разности второго порядка:
∆
2
y
i
=∆(∆y
i
)=∆(y
i+1
-y
i
)=y
i+2
-2y
i+1
+y
i
,
∆
∇ y
i
=∆(y
i
-y
i-1
)=(y
i+1
-y
i
)-(y
i
-y
i-1
)=y
i+1
-2y
i
+y
i-1
,
так что ∆
2
y
i
=∆
∇
y
i+1
.
Аналогично определяется разность m-го порядка: ∆
m
y
i
=∆(∆
m-1
y
i
), содержащая значения y
i
,
y
i+1
,…,y
i+m
. Очевидно, что
∑
=
∆
i
j
j
y
1
=y
i+1
-y
k
,
∑
=
∇
i
kj
j
y
=y
i
-y
k-1
.
1.1.1.2. Разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования
по частям
Пусть y
i
, v
i
– произвольные функции целочисленного аргумента. Тогда справедливы
формулы:
∆(y
i
v
i
)=y
i
∆v
i
+v
i+1
∆y
i
=y
i+1
∆v
i
+v
i
∆y
i
, (1)
∇ (y
i
v
i
)=y
i-1
∇
v
i
+v
i
∇
y
i
=y
i
∇
v
i
+v
i-1
∇
y
i
, (2)
которые проверяются непосредственно. Например,
∆(y
i
v
i
)=y
i+1
v
i+1
-y
i
v
i
;
y
i
∆v
i
+v
i+1
∆y
i
=y
i
(v
i+1
-v
i
)+v
i+1
(y
i+1
-y
i
)=y
i+1
v
i+1
-y
i
v
i
=∆(y
i
v
i
).
При выводе формулы для
∇ (y
i
v
i
) достаточно учесть, что
∇
(y
i
v
i
)=∆(y
i-1
v
i-1
).
Формулы (1), (2) представляют собой аналоги формулы дифференцирования произведения
(y(x)v(x))'=yv'+vy'.
Аналогом формулы интегрирования по частям является формула суммирования по частям:
∑∑
−
==
−+∇−=∆
1
01
0
,)()(
N
i
N
i
Niiii
yvyvyvvy (3)
которую записывают также в виде 
                                                     10




                                 1.1. Разностные уравнения
       В этой главе изучаются сеточные функции целочисленного аргумента и разностные
уравнения второго порядка. Излагается простейший математический аппарат для изучения
сеточных функций и разностных операторов. Для решения разностных уравнений второго порядка
применяется метод исключения, называемый методом прогонки.



                                       1.1.1. Сеточные функции

                      1.1.1.1. Сеточные функции и действия над ними

       Как уже упоминалось, в приближенных методах обычно функции непрерывного аргумента
заменяются функциями дискретного аргумента – сеточными функциями. Сеточную функцию
можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента:
                                      y(i)=yi, i=0, ± 1, ± 2,….
       Для y(i) можно ввести операции, являющиеся дискретным (разностным) аналогом
операций дифференцирования и интегрирования.
       Аналогом первой производной являются разности первого порядка:
       ∆yi=yi+1-yi – правая разность;
       ∇ yi=yi-yi-1 – левая разность;
           1              1
       δyi=  (∆yi+ ∇ yi)= (yi+1-yi-1) – центральная разность;
           2              2
       следует заметить, что ∆yi= ∇ yi+1.
        Далее можно определить разности второго порядка:
        ∆2yi=∆(∆yi)=∆(yi+1-yi)=yi+2-2yi+1+yi,
        ∆ ∇ yi=∆(yi-yi-1)=(yi+1-yi)-(yi-yi-1)=yi+1-2yi+yi-1,
        так что ∆2yi=∆ ∇ yi+1.
        Аналогично определяется разность m-го порядка: ∆myi=∆(∆m-1yi), содержащая значения yi,
yi+1,…,yi+m. Очевидно, что
                                   i                       i

                                  ∑ ∆y
                                  j =1
                                          j   =yi+1-yk,   ∑ ∇y
                                                          j =k
                                                                 j   =yi-yk-1.



1.1.1.2. Разностные аналоги формул дифференцирования произведения и интегрирования
                                     по частям

        Пусть yi, vi – произвольные функции целочисленного аргумента. Тогда справедливы
формулы:
                           ∆(yivi)=yi∆vi+vi+1∆yi=yi+1∆vi+vi∆yi,             (1)
                           ∇ (yivi)=yi-1 ∇ vi+vi ∇ yi=yi ∇ vi+vi-1 ∇ yi,    (2)
которые проверяются непосредственно. Например,
                                          ∆(yivi)=yi+1vi+1-yivi;
                      yi∆vi+vi+1∆yi=yi(vi+1-vi)+vi+1(yi+1-yi)=yi+1vi+1-yivi=∆(yivi).
        При выводе формулы для ∇ (yivi) достаточно учесть, что ∇ (yivi)=∆(yi-1vi-1).
        Формулы (1), (2) представляют собой аналоги формулы дифференцирования произведения
(y(x)v(x))'=yv'+vy'.
        Аналогом формулы интегрирования по частям является формула суммирования по частям:
                          N −1                N

                          ∑ yi ∆vi = −∑ vi∇yi + ( yv) N − ( yv)0 ,
                          i =0            i =1
                                                                                 (3)

которую записывают также в виде

Страницы