Численные методы. Корнюшин П.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

12
(чем и объясняется термин «разностное уравнение»). Если коэффициенты a
0
, a
1
,…, a
m
не зависят
от i, a
0
≠ 0, a
m
≠ 0, то (1) называется линейным разностным уравнением m-го порядка с
постоянными коэффициентами.
При m=1 из (1) получаем разностное уравнение первого порядка
a
0
(i)y
i
+a
1
(i)y
i+1
=f(i), a
0
(i)
≠
0, a
1
(i)
≠
0, (3)
при m=2 – разностное уравнение второго порядка
a
0
(i)y
i
+a
1
(i)y
i+1
+a
2
(i)y
i+2
=f(i), a
0
(i)
≠
0, a
2
(i)
≠
0.
Мы ограничимся изучением разностных уравнений первого и второго порядков.
1.1.2.2. Уравнение первого порядка
Рассмотрим разностное уравнение первого порядка (3). Подставляя y
i+1
=y
i
+∆y
i
, получим
a
0
(i)y
i
+a
1
(i) ∆y
i
=f(i), a
0
=a
0
+a
1
.
Простейшими примерами разностных уравнений первого порядка могут служить формулы
для вычисления членов арифметической прогрессии y
i+1
=y
i
+d и геометрической прогрессии
y
i+1
=qy
i
.
Запишем уравнение (3) в виде
y
i+1
=q
i
y
i
+
ϕ
i
, (4)
где q
i
=-a
0
(i)/a
1
(i),
ϕ
i
=f(i)/a
1
(i). Отсюда следует, что решение y(i) определено однозначно
при i>i
0
, если задано значение y(i
0
). Пусть при i=0 задано y
0
=y(0). Тогда можно определить y
1
,
y
2
,…, y
i
,…. Последовательно исключая y
i
, y
i-1
,…, y
1
по формуле (4), получим
y
i+1
=q
i
q
i-1
…q
0
y
0
+
ϕ
i
+q
i
ϕ
i-1
+q
i
q
i-1
ϕ
i-2
+…+q
i
q
i-1…
q
1
ϕ
0
,
или
y
i+1
=
∑
∏∏
−
=
+==
+
+
1
0
1
0
0
.
i
k
ik
i
ks
s
i
k
k
qyq
ϕϕ
(5)
Для уравнения с постоянным коэффициентом, когда q
i
=q из (5) получаем
y
i+1
=q
i+1
y
0
+
∑
=
−
=
i
k
k
ki
iq
0
,...,2,1,0,
ϕ
(6)
т.е. решение разностного уравнения (4) с постоянными коэффициентами.
1.1.2.3. Неравенства первого порядка
Если в выражениях типа (1) или (2) знак равенства заменить знаками неравенства <, >,
≤
,
≥ , то получим разностные неравенства m-го порядка Пусть дано разностное неравенство первого
порядка
y
i+1
≤ qy
i
+f
i
, i=0, 1, 2,…; q ≥ 0. (7)
Не ограничивая общности, далее всегда считаем q>0 (y
0
,, q, f
i
известны). Найдем его
решение. Пусть v
i
– решение разностного уравнения
v
i+1
=qv
i
+f
i
, i=0, 1,…; v
0
=y
0
. (8)
Тогда справедлива оценка
y
i
≤ v
i
. (9)
В самом деле, вычитая (8) из (7), находим
y
i+1
-v
i+1 ≤
q(y
i
-v
i
)
≤
q
2
(y
i-1
-v
i-1
)
≤
≤
...
q
i+1
(y
0
-v
0
)=0.
Подставив в (9) явное выражение для v
i
получим
y
i ≤
q
i
y
0
+
∑
−
=
−−
1
0
1
,
i
k
k
ki
fq i=0, 1, 2,…,– (10)
решение неравенства (7).
1.1.2.4. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 
                                                            12


(чем и объясняется термин «разностное уравнение»). Если коэффициенты a0, a1,…, am не зависят
от i, a0 ≠ 0, am ≠ 0, то (1) называется линейным разностным уравнением m-го порядка с
постоянными коэффициентами.
       При m=1 из (1) получаем разностное уравнение первого порядка
                        a0(i)yi+a1(i)yi+1=f(i), a0(i) ≠ 0, a1(i) ≠ 0,             (3)
       при m=2 – разностное уравнение второго порядка
                           a0(i)yi+a1(i)yi+1+a2(i)yi+2=f(i), a0(i) ≠ 0, a2(i) ≠ 0.
       Мы ограничимся изучением разностных уравнений первого и второго порядков.


                               1.1.2.2. Уравнение первого порядка

         Рассмотрим разностное уравнение первого порядка (3). Подставляя yi+1=yi+∆yi, получим
                                        a 0(i)yi+a1(i) ∆yi=f(i), a 0=a0+a1.
         Простейшими примерами разностных уравнений первого порядка могут служить формулы
для вычисления членов арифметической прогрессии yi+1=yi+d и геометрической прогрессии
yi+1=qyi.
         Запишем уравнение (3) в виде
                                    yi+1=qiyi+ϕi,                          (4)
         где qi=-a0(i)/a1(i), ϕi=f(i)/a1(i). Отсюда следует, что решение y(i) определено однозначно
при i>i0, если задано значение y(i0). Пусть при i=0 задано y0=y(0). Тогда можно определить y1,
y2,…, yi,…. Последовательно исключая yi, yi-1,…, y1 по формуле (4), получим
                             yi+1=qiqi-1…q0y0+ϕi+qiϕi-1+qiqi-1ϕi-2+…+qiqi-1…q1ϕ0,
или
                                i             i −1
                                                       i        
                        yi+1=  ∏ q k  y 0 + ∑  ∏ q s ϕ k + ϕ i .              (5)
                                k =0          k = 0  s = k +1 
       Для уравнения с постоянным коэффициентом, когда qi=q из (5) получаем
                                          i
                        yi+1=qi+1y0+    ∑q
                                        k =0
                                               i −k
                                                      ϕ k , i = 0,1,2,...,        (6)

т.е. решение разностного уравнения (4) с постоянными коэффициентами.


                             1.1.2.3. Неравенства первого порядка

        Если в выражениях типа (1) или (2) знак равенства заменить знаками неравенства <, >, ≤ ,
≥ , то получим разностные неравенства m-го порядка Пусть дано разностное неравенство первого
порядка
                             yi+1 ≤ qyi+fi, i=0, 1, 2,…; q ≥ 0.               (7)
      Не ограничивая общности, далее всегда считаем q>0 (y0,, q, fi известны). Найдем его
решение. Пусть vi – решение разностного уравнения
                             vi+1=qvi+fi, i=0, 1,…; v0=y0.                    (8)
      Тогда справедлива оценка
                             yi ≤ vi.                                         (9)
      В самом деле, вычитая (8) из (7), находим
                         yi+1-vi+1 ≤ q(yi-vi) ≤ q2(yi-1-vi-1) ≤ ... ≤ qi+1(y0-v0)=0.
      Подставив в (9) явное выражение для vi получим
                                        i −1
                           yi ≤ qiy0+   ∑q
                                        k =0
                                               i −1− k
                                                         f k , i=0, 1, 2,…,–   (10)

решение неравенства (7).


           1.1.2.4. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Страницы